§7.8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задачи на материал данной главы отличаются от обычных задач на гидростатику лишь тем, что в них принимается во внимание еще одна сила — сила поверхностного натяжения, определяемая формулой (7.4.3).

Для решения задач используются также формулы для по-верхностной энергии (7.3.2), давления под изогнутой поверхнос-тью (7.6.6) и высоты поднятия жидкости в капилляре (7.7.3).

Задача 1

Определите энергию, освободившуюся при слиянии мелких капель воды радиусом г = 2 • 10~3 мм в одну большую каплю радиусом R = 2 мм.

Решение. Обозначим число мелких капель через п. Тогда общая поверхность всех мелких капель

= 4 пг2п.

Поверхность одной большой капли

= 4 TZR2.

Поверхностная энергия всех мелких капель Unl = а • 4лг2л,

а одной крупной капли

Un2 = а • 4 kR2.

Так как температура не изменялась, то кинетическая энергия молекул воды тоже не изменилась. Следовательно, выделение энергии произошло за счет уменьшения потенциальной (поверхностной)энергии:

Q = ?7п1 - Un2 = 4гат(г2п - R2). (7.8.1)

Чтобы найти число капель п, учтем, что объем воды не изменился. Сумма объемов мелких капель

Так как Vx = V2, то

іггп = |лі?3.

Отсюда число мелких капель

Д3

Подставляя это значение п в выражение (7.8.1), получим Q = 4jlR2o(^ - і] = 3,5-1(Г3Дж.

Задача 2

Смачиваемый водой кубик массой т = 0,02 кг плавает на поверхности воды. Ребро кубика имеет длину а = 0,03 м. На каком расстоянии х от поверхности воды находится нижняя грань кубика?

Решение. Архимедова сила уравновешивает силу тяжести кубика и силу поверхностного натяжения. Следовательно,

a2xpg- mg-4aa = 0. (7.8.2)

Отсюда

mg + 4aa Л АОО х = т, = 0,023 м.

azpg

Силы поверхностного натяжения вносят поправку около 1 мм.

Задача 3

Два мыльных пузыря радиусами R и г «срослись», как показано на рисунке 7.29.

Решение. Давление внутри мыльного пузыря радиусом R больше атмосферного давления на величину Щ-, а внутри

Рис. 7.29

меньшего пузыря — на величину 4а

— . В этих выражениях учтено, что

у мыльного пузыря две поверхности. Давление внутри пузыря радиусом R вместе с давлением участка пленки между пузырями должно урав-новесить давление внутри меньшего пузыря. Следовательно,

4а 4с = 4с R + Rx~ г ' где Rx — радиус кривизны участка пленки АВ. Отсюда Rr =

Rr

R-r¦ Силы поверхностного натяжения в любой точке поверхности соприкосновения пузырей уравновешивают друг друга и равны между собой. А это возможно только в том случае, когда углы между векторами сил равны 120°.

Задача 4

Длинную стеклянную капиллярную трубку, радиус канала которой г = 1 мм, закрыли снизу и наполнили водой. Трубку поставили вертикально и открыли ее нижний конец, при этом часть воды вылилась. Какова высота столба оставшейся в капилляре воды?

Решение. Столб воды в поставленной вертикально трубке удерживается верхним и нижним менисками (рис. 7.30). Давление в точке В под верхним мениском

-В=- 2а

г '

Рв=Ро- — , (7.8.3)

а давление в точке С над нижним мениском (7.8.4)

(7.8.5)

Рс=Рв + peh. С другой стороны,

, 2а

Рс = Ро + — • Следовательно,

,2° ,i. 2cr , ,

Ро + — =Рв + PSh =Ро ~ — + PSh

или

= р gh. (7.8.6)

Отсюда

pgr

Задача 5

Конец капиллярной трубки опущен в воду. Какое количество теплоты Q выделится при поднятии жидкости по капилляру? Краевой угол принять равным нулю (полное смачивание).

Решение. Жидкость поднимается согласно формуле (7.7.3) на высоту h = . Потенциальная энергия столбика жидкости в поле тяготения Земли

р _ mgh _ 2ка2

Р ~ ~2 рg '

так как

т =- тс/^Лр.

Силы поверхностного натяжения совершают работу

4 па2

А = 2nrha =

Р g

На увеличение потенциальной энергии Ер идет половина этой работы.

Р?

Задача 6 11. Капиллярная трубка погружена в воду таким образом, что длина непогруженной ее части составляет I = 0,2 м. Вода под-нялась в трубке на высоту | = 0,1 м. В этом положении верх- ний конец трубки закрывают пальцем и трубку погружают в воду до тех пор, пока уровень воды в ней не сравняется с уровнем воды в сосуде. Найдите длину выступающей из воды части трубки в этом положении. Внешнее давление р0 = 105 Па.

Решение. Согласно формуле (7.7.3)

• (7.8.7)

2 pgr к '

Найдем давление воздуха, которое установится в погруженном закрытом сверху капилляре после выравнивания уровней воды (в сосуде и капилляре). Обозначим давление воздуха в капилляре буквой р, тогда под вогнутой поверхностью

воды в капилляре давление равно р —— (см. § 7.6). Так как

жидкость в капилляре и сосуде находится в равновесии, то давление на жидкость в сосуде (атмосферное давление р0) рав- 2о

но давлению р —— :

2о

Ро=Р~—'

Откуда

Ро+т- < - -8>

Полагая температуру неизменной и применив закон Бойля—Мариотта, получим

ph=p0\. (7.8.9)

Отсюда

Ро1

(7.8.10)

Найдем из уравнения (7.8.7) значение сг и подставим его в выражение (7.8.8):

(7.8.11)

И наконец, подставив в (7.8.10) выражение (7.8.11) для р, окончательно получим

Ро1

h = . = 9,9 см.

2р0+pgl

Упражнение 6

2.

3.

Какую работу надо совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь диаметром D = 12 см? Поверхностное натяжение мыльного раствора считать равным 4 • 1СГ2 Н/м. Каким усилием можно оторвать тонкое металлическое кольцо от мыльного раствора (а = 4 • Ю-2 Н/м), если диаметр кольца 15,6 см, масса 7,0 г и кольцо соприкасается с раствором по окружности?

Каким образом, используя явления смачивания и несмачивания, можно осуществить минимальный и максимальный термометры?

При удалении с поверхности ткани жирного пятна рекомендуется смачивать пропитанной бензином ваткой края пятна.

6.

Чтобы мазь лучше впитывалась в смазанные лыжные ботинки, их нагревают. Как нужно нагревать ботинки — снаружи или изнутри?

Почему с помощью утюга можно вывести пятно жира с костюма?

капля воды. В какую сторону при этом устремляется капля — к широкому или узкому концу трубки? Почему?

В дне чайника имеется круглое отверстие диаметром ОД мм. До какой высоты можно налить воду в чайник, чтобы она не выливалась через отверстие? Сохранится ли это условие, если воду в чайнике нагревать?

Конец стеклянной капиллярной трубки радиусом г = 0,05 см опущен в воду на глубину h = 2 см. Какое давление необходимо, чтобы выдуть пузырек воздуха через нижний конец трубки?

Смачивающая жидкость плотностью р поднялась в капил-лярной трубке на высоту h. Каково давление в жидкости внутри капилляра на высоте h/4? Атмосферное давление равно р0.

Докажите, что в случае неполного смачивания (Э Ф 0) высота поднятия жидкости в вертикальной капиллярной трубке

, , 2а cos 6 .

вычисляется по формуле п = —— , где Э — краевой

угол, г — радиус канала трубки и р — плотность жидкости. т, , , 2а cos 0

Как изменится формула п = —^^— , если сосуд с жидкостью будет установлен в лифте, движущемся с ускорением а, направленным вверх? вниз?

Длинную капиллярную трубку радиусом 0,8 мм заполнили водой и перевели в вертикальное положение. Найдите массу жидкости, оставшейся в трубке после того, как часть воды вылилась.

В капиллярной трубке, опущенной вертикально в воду на глубину I, вода поднялась на высоту h (рис. 7.33). Нижний конец трубки закрывают, вынимают ее из воды и снова открывают. Определите длину столбика воды, оставшейся в трубке.

Стеклянная капиллярная трубка, внутренний диаметр которой d = 0,5 мм, погружена в воду. Верхний конец трубки выступает на h = 2 см над поверхностью воды. Какую форму имеет мениск? Чему равен его радиус кривизны?? 20.

18. Капиллярная стеклянная трубка имеет радиус канала г = 0,05 см и запаяна сверху. Трубка открытым концом опускается вертикально в воду. Какой длины следовало бы взять трубку, чтобы при этих условиях вода в ней поднялась на высоту h = 1 см? Давление воздуха Ро = 105 Па. Поверхностное натяжение воды о = 7 ¦ 10~2 Н/м.

I =

19.

Каким образом можно без потерь налить жидкость в сосуд, находясь в ус-ловиях невесомости (на космическом корабле)? Как в этих условиях извлечь жидкость из сосуда?

Рис. 7.33

Великому датскому физику Н. Бору довелось однажды мыть посуду в горной альпийской хижине. Он был крайне удивлен, увидев, что можно получить чистую посуду с помощью небольшого количества грязной воды и грязной тряпки. В чем здесь дело?