§ 1. Простое фальшивое правило1.

Самые интересные, но, конечно, и самые трудные проблемы истории мате-матики это те, которые относятся к эмбриологии идей.

Обычно история математики исследует ход развития идеи уже во вполне оформленном виде.

Попытки таких исследований я хочу дать. Я хочу показать, что эти идеи с психологической необходимостью должны были развиться из основных свойств нашего ума. причем хочу проследить, как самые примитивные методы должны были обратиться в современные совершенные.

Самый примитивный способ (но, конечно, не метод) решения задачи - ряд попыток; неизвестное просто подбирается так, чтобы оно удовлетворило поставленным условиям.

Берется произвольное значение для неизвестного, согласно арабской терминологии: предположение; производятся над ним все те операции, которые должны дать определенный результат. Если полученный результат не совпадает с данным или, как говорят арабы, отклонение не нуль, то переходят к другому и так дальше, пока не наталкиваются на решение. Так древние египтяне решили, вероятно, задолго до Ахмеса2 задачу вроде следующей:

Разделить 1000 рублей между тремя лицами А, В, С, так, чтобы В

получил в 1-^- раза больше А, С - ~ того, что А и В вместе и еще 40 руб.

Ход решения состоял в том, что последовательно предполагают, что А получает 100, 200, 300 р. и определяют, сколько получит В и С и, наконец, все вместе.

Первая идея, которая должна была прийти в голову, такова: в том случае, когда результат получается слишком большим, когда отклонение положительно, нужно брать следующее предположение меньше, в противном случае - больше; благодаря этой идее получаются все более узкие области пробуемых предположений.

Конечно, этот уже более совершенный способ основывается на признании, что результат d0 возрастает вместе с предположением х0.

Это один из законов, управляющих эволюцией идей: всякая истина содержит заблуждение; необходимо всегда признать что-либо неправильное, чтобы продвинуться к правильному.

Такого же рода заблуждение является стимулом и дальнейшего продвижения.

Вторым заблуждением является признание двух величин х и у, единовременно возрастающих, пропорциональными.

Эта ошибка: в отождествлении монотонности с прямой или обратной пропорциональностью, вместе с тем - источник ошибок как ученических, так и тех, которые дает нам история математики. Но эта ошибка вызвала regula falsi3, фальшивое правило в его простейшем виде.

Вне сомнения, простейшее фальшивое правило, применимое ко всем задачам, не обосновывается, так как обосновать его, конечно, раньше не было возможности. Ошибка в отождествлении монотонности и пропор-циональности не замечалась, так как в первых простейших задачах это действительно имеет место и применение правила было вполне законно.

Открытие regula falsi - бесспорно крупное открытие в младенческий период математики; оно дает возможность, так сказать, одним ударом превратить неправильное решение в правильное.

Если при взятом предположении х0 результат dQ вдвое менее дан-ного d, то искомое х вдвое более х ; если

d0= 3d, то и х0= Зх и т.д.

Приведенная выше задача так решается по простому фальшивому правилу;

1

Отняв от 1000 р. - 40 р. (т.е. прибавку, полученную С сверх т час-

1 I

ти А и В), т.е. взяв 960 руб., будем делить так, что В получит в 1—раза 1

более А, С - — того, что А и В вместе, э

Предположим, что А получит 4, тогда В - б, а С - 2; все вместе-12, вместо 960 р., т.е. в 80 раз меньше. Отсюда делается заключение, что ошибочный слишком малый результат получился потому, что предположение взяли слишком малое. Если возьмем в 80 раз больше, то В и С получат в 80 раз больше и сама сумма будет в 80 раз больше, т.е. 960 рублей.

В алгебраической символике правило это будет представлять метод решения уравнения первой степени:

ах + bx + с(а'х + b'x) = d (I)

без соединения подобных членов.

А именно, берется для х какое-нибудь значение х = х0 и определяется число d0, которому равен результат подстановки в левую часть уравнения (1) этого решения х = х0, так что

ахо -I- bx0 -I- с(а'х + b'x) = d; (2)

х определяется по формуле:

d

х = х0— (3)

а о

которую нетрудно вывести из (1) и (2).

Для разобранного нами примера имеем уравнение:

3 U 2 Ї

X+-X-I— X + -X =960 2 5 V 3 )

х полагается равным 4;

d = 12, -г = 80.

о d0 х = 4. 80 = 320.

Пропорция х : х0 = d : de является в глазах старых математиков чем-то самим по себе очевидным и не доказывается.

Но если бы пожелали ее строго доказать, то пришлось бы делать то, что мы избегаем с помощью этого метода, т.е. соединение подобных членов в уравнениях (1) и (2),