Введение

M.jy

Бесспорно, что одна из характерных черт современной математики - ее связи с науками философскими. В настоящее время математик, который не желает ограничить всю деятельность узкой сферой какого-нибудь специального исследования должен быть хотя бы немного философом.

Спекулятивный идеализм смотрел свысока на математику, его диалектическая логика представлялась божественным откровением, заглушающим земной лепет силлогистической логики математиков. Представлялось, что философия не может заимствовать у математики ни ее метод, ни ее содержание.

В противоположность идеализму материализм очень любил выдвигать значение математики. Но материалистические похвалы математике - это похвалы чернорабочему, который работает для ряда наук, образующих иерархическую лестницу вплоть до той наивно-реалистической догматики, которая атом считает единственным объясняющим принципом. Но вот, эволюция мысли, идя по зигзагообразной кривой, снова возвращается к старым идеям. Рационализм возрождается в виде современных интеллекіуали- стических течений3. Чистый разум старается теперь разорвать те цепи, в которые его заковал критицизм.

Война все еще продолжается. Победа будет одержана рационализмом и чистый разум опять овладеет метафизическим царством, если будут взяты самые сильные крепости: будет опровергнуто кантовское учение о пространстве и геометрических аксиомах и будет отбита актуальная беско-нечность.

Мы видим таким образом, что предметы, которые должны интересовать гносеолога лежат в области математики.

Мы выше сказали, что спекулятивный идеализм, совершающий свои построения с помощью высшей, диалектической логики смотрит свысока на ту логику, которая толчется на одном месте, маскируя на разные лады А=А.

Если диалектическую логику отвергнуть, то останется только эта бедная математическая логика и критицизм смело сможет утверждать, что с А=А также нельзя доехать до Абсолюта, как барону Мюнхаузену вытащить себя за волосы из болота. Не будет ли единственным путем для защиты позиций создать новую логику, опирающуюся на математику, изыскать в математической логике другие принципы, чем А=А, не зависящие от последнего,-усмотреть в Математике силы, не усмотренные Аристотелем и Кантом? Отсюда следует необходимость логическо-математических исследований, связь между логикой и математикой.

Но следует помнить, что связь между гносеологией и метафизикой с одной стороны и математикой [с другой] существовала и раньше. Совершенно новой представляется связь [математики] с психологией. Значение психологии для математики, впрочем, и теперь сознается довольно слабо. Едва ли вполне сознается, что все логические построения приобретают ценность только благодаря психологическом факту очевидности основных аксиом. Но уже одного этого факта достаточно, чтобы убедить в необходимости психологических исследований.

Эмпиризм, опирающийся на психологию, можно обсуждать лишь опираясь на эту последнюю. Психология мышления не должна совпадать с ассоциативной психологией. Необходимо ее более глубокое исследование и лучшие факты может дать математика.

Психологическое исследование дает особое значение истории ма-тематики. В последней мы приучаемся видеть не только прагматическую сторону, но и усматривать общие законы, которым подчиняется эволюция различных психологических элементов, приучаемся рассматривать историю математики только в связи с историей мысли в более общем смысле и даже с общей историей человечества.

Вместе с тем, мы приобретаем психологические основы для методических теорий.

Предметом наших лекций и послужит разбор тех философских и математических проблем, которые связуют логику, гносеологию, психологию, метафизику с математикой.

Лекция I, Логика и Математика

Существуют математические истины, которые не доказывают, в существовании которых убеждаются непосредственно путем инлуиции. Эти истины высказываются в начале изложения системы математических положений. Это - аксиомы. Таковы следующие истины: "две величины, равные порознь третьей, равны меяеду собой", "две прямые ие могут заключать пространства". Раз установив систему очевидных истин, к признанию других приводят с помощью доказательств, т.е. связывая каждую из них логической связью с непосредственно очевидными положениями. Устанавливая такую связь, мы, конечно, этим не делаем доказуемые положения очевид-ными, но истинность их становится для нас необходимой в силу того, что:

исходные положения очевидно имеют место

все те положения, которые связываются цепью силлогизмов с ними должны быть, как и он, истинны.

Из двух посылок силлогизмом извлекаем третье предложение - заключение. Если мы изобразим точками всю совокупность положений какой-либо математической дисциплины, например элементарной геометрии, и точку А, отвечающую какому-нибудь положению будем соединять прямыми с В, С, D... положениями, из которых А выводится, то получим сеть, которая начинается в точках, отвечающих начальным т.е. очевидным положениям. Можно сказать, что математика обычно интересуется не самой сетью, а только ее узлами. Для нее важно указать какой-нибудь путь, ведущий от очевидных положений А, В, С, D... к интересующему его положению G, существование которого почему-либо подозревается и, если этот путь найден, то математик со спокойной совестью может сказать, что положение G им доказано.

На первый взгляд кажется, что подобные исследования не предмет математики, а предмет логики.

Конечно, основания подобных исследований черпаются в логике, но результаты, которые получаются путем логических исследований, относятся, тем не менее, к математике.

Возьмем силлогизм т.е. одно из звеньев упомянутой выше логической сети (например 1-ю фигуру) А есть В все В есть С следовательно А есть С.

Им утверждается, что А присуще некоторое свойство (С) определяющее принадлежность А к классу и именно потому, что ему присуще свойство (В).

Можно сказать, что, делая это заключение мы пользуемся только одним из свойств объекта А. Но ведь тому же объекту А могут быть присущи еще другие свойства (Е), (F), (G)... отнюдь не необходимо связанные с (В). Эти последние в нашей логической операции остаются логически не действующими.

Объект А мы могли бы заменить другим объектом Л, которому было бы присуще свойство (В), но признаки (Е) (F) (G)... были бы заменены другими (е),(f),(g)...

Иван - человек, все люди смертны: следовательно Иван смертен. Иван человек, но Иван может быть стар, высок, худ. Но я могу также сказать:

Петр - человек, Все люди смертны следовательно Петр смертен. Хотя Петр в противоположность Ивану может быть молод, низок и толст.

Вместо одного звена, можно взять несколько звеньев, т.е. некоторую логическую цепь, начинающуюся аксиомами. Мы будем тогда доказывать, что объекту

А присущи свойства: а', а", а"'...

В Ь',Ь",Ь"'...

С с', с", с"'...

При этом мы можем использовать не все признаки А, В, С...

А а', а", а"'

В Р\ р", |У"

С у', у",у"

наличность которых утверждается системой использованных нами аксиом.

Таким образом нами будет доказываться, что А присущи свойства: а', а", а"'...

В: b',b",b"'...C: с',с",с"'..только потому, что А присущи: а',а",а'"...В: [}',|3",(}'"...С: у',у",у'"...

Если бы А, В, С... были присущи еще другие от взятых независимые свойства

Р',Р",Р"'... У',У",У'"-- то таковые следует признать логически не действующими. Заменяя их другими а', а", а"'...р',(і",р'"...у',у",у'"..., мы получаем вместо А, В, С... новые объекты А, В, С,., относительно которых должны утверждать то же, что о А, В, С.., т.е. наличность для Асвойства: а',а",а"'..., для

В: b',b",b"'.. для С: с',с",с'" и т.д.

Мы будем иметь таким образом одну логическую схему для различных объектов: А, В, С... и А,В,С...

Можно назвать (А,В,С...) и (А, В, С... ) логическими эквивалентами относительно взятой системы постулатов.

В современной геометрии имеет огромное значение эквивалентность точки и прямой относительно одной группы аксиом. Все геометрические свойства можно разделить на две довольно обширные категории.

Теорема Пифагора устанавливает известную зависимость между длинами гипотенузы у катетов. Это не что иное, как соотношение между результатами некоторых измерений. Такие свойства, которые зависят от какого-либо сравнения или, лучше сказать, измерения величин, называются метрическими. Такого рода свойствами занимается почти исключительно низшая, элементарная геометрия.

Но существуют еще совершенно другого рода свойства. Эти последние совершенно не зависят от измерения. Это так называемые зрительные свойства.

Они определяются взаимным расположением геометрических объектов, но при этом предполагается, что это расположение определяется не измерением, а зрительной интуицией весьма общего типа.

На вопрос: "где точка?" - следует отвечать не "на таком-то расстоянии от прямой вправо или влево", а "на прямой, направо или налево".

На вопрос: "где прямая?" - следует отвечать, "на плоскости или в ту или другую сторону от нее" и т.д.

Ясное представление о зрительных свойствах дают уже зрительные аксиомы, относящиеся к основным элементам геометрии.

На плоскости:

Две точки определяют одну прямую, через них проходящую.

Две прямые определяют одну точку их пересечения.

Эти аксиомы обыкновенно формулируют так:

Две точки определяют прямую, им принадлежащую.

Две прямые определяют точку им принадлежащую.

В пространстве:

Три точки, не принадлежащие одной прямой, определяют плоскость.

Три плоскости, не принадлежащие одной прямой, определяют точку.

Две точки определяют прямую, им принадлежащую.

Две плоскости определяют прямую, им принадлежащую.

И другие.

Мы не будем перечислять все зрительные аксиомы, но отметим следующее их свойство, которое можно легко усмотреть и на четырех только что приведенных.

Каждой зрительной аксиоме отвечает ей взаимная, получаемая заменой плоскости на точку, точки на плоскости (прямая остается на месте).

Из системы зрительных аксиом выводится зрительная геометрия или геометрия положения - главная и важнейшая часть проективной геометрии.

Можно сказать теперь, что веете свойства точки, прямой и плоскости присущи им только потому, что точке, согласно зрительным аксиомам, присущи свойства а', а", а"'.., а плоскости (3\ |3", Р"'...

Таким образом, для доказательств а зрительных теорем имеет значение не то, что плоскость представляется интуицией совершенно в ином виде, чем точка, а то, что три точки определяют плоскость, две точки - прямую и т.д.

Так как согласно двойственности аксиом мы можем приписать плос-кости свойства а', а", а"'.., а точке [свойства] р', р", [3"'.., то мы будем иметь логическую эквивалентность [А (точки), В (прямой), С (плоскости)]

и [ А (плоскости), В (прямой), с (точки)], взаимные положения будут существовать не только для аксиом, но и для всякой зрительной теоремы.

Мы, таким образом, получаем закон двойственности:

Каждому зрительному положению отвечает взаимное, получаемое заменой точки на плоскость и плоскости на точку.

Приведем примеры двух взаимных теорем.

Молено сказать, что прямые, между собой пересекающиеся, т.е.

Взаимная теорема:

Прямые, между собой пересекающиеся, т.е. лежащие попарно в одной плоскости и не проходящие через одну точку, лежат в одной плоскости.

Существует теорема плоской зрительной геометрии, которую дока-зывают стереометрическим и соображениями - это теорема Дезарга. В двух треугольниках ABC и А,В, С, соответствующие вершины которых лежат на прямых, проходящих через одну точку, соответствующие стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, и [существует] теорема ей обратная.

Эта теорема вместе с плоскостными зрительным теоремами представляет основание зрительной плоскостной геометрии. Легко усмотреть в этих основных положениях тоже двойственность, существование взаим- кых положений, получаемых обменом точки и прямой. В плоскостной гео-метрии имеет место закон двойственности:

Каждому зрительному положению отвечает взаимное, получаемое взаимным обмеЕіом точки и прямой.

Теореме Паскаля; во вписанном в кривую второго порядка шестиугольнике противоположные стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, отвечает, как взаимная, теорема Брианшона: в описанном около кривой второго ісласса (или, что то же самое, второго порядка) шестиугольнике прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке1.

Логический эквивалент является главным орудием исследования логической сети. Предположим, что мы имеем ряд независимых посту-латов, т.е. таких, что ии один из иих не может быть выведен из осталь-ных. Каким образом решается следующая основная задача: теорема G выводится из постулатов А, В, С, D..., как убедиться в том, что эта теоре-ма не может быть выведена из меньшего числа постулатов, например, [из] А, В, С.

Для решения этого вопроса следует только подыскать к исследуемым объектам Р, Q, R... их эквиваленты относительно постулатов:

А,В,С: P,Q,R... Если теперь для Р,Q, R...не имеет места теорема G, то

следует безусловно заключить, что G не может быть выведено из А, В, С.

Так можно доказать, что теорема Дезарга не может быть выведена из одних плоскостных зрительных аксиом. А именно, имеет место следующая альтернатива: или приходится доказывать эту теорему метрически, например, методом аналитической геометрии или же пользоваться зрительными пространственными аксиомами, отказавшись от самостоятельного, не зависящего от пространственной геометрии, обоснования плоскостной зрительной геометрии.

Чтобы убедиться в этом, можно употребить, согласно Гильберту, следующие логические эквиваленты прямой относительно системы зрительных аксиом.

Берем эллипс С, который назовем основной окружностью, и точку Р (основную точку) вне ее. Назовем пропрямой такой объект, который совпадает со всякой прямой, не пересекающей основную окружность. Если нее прямая пересекает основную окружность в точках А, В, то пропрямой будет объект, образованный частью прямой вне этого эллипса и кругом, проходящим через А, и основную точку Р.

Пропрямая представляет [собой] эквивалент прямой, так как простые геометрические соображения убеждают, что при надлежащем выборе эллипса:

Две точки определяют пропрямую.

Две пропрямые определяют одну и только одну точку, им принадлежащую и т.д.

Если бы теорема Дезарга могла быть выведена из плоскостных зрительных аксиом, то соответствующие стороны-пропрямые двух про- треугольников пересекались бы в точках, лежащих на одной пропрямой, если соответствующие вершины лежат на пропрямых, проходящих через одну точку. Но пример, в котором вершины берут то внутри, то вне окружности С, легко убеждает нас в противном.

С помощью логических эквивалентов доказывается также возможность неевклидовых геометрий.

Неевклидовой геометрией называется геометрия, в основе которой лежит отрицание 11-й евклидовой аксиомы или ей равносильной аксиомы о параллельных, состоящей в том, что из данной точки можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если принять все аксиомы евклидовых "Начал", кроме 11-й2, то мы получим геометрию Лобачевского.

В этой геометрии из данной точки можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную, заключающихся между двумя предельными прямыми, которые Лобачевский называет параллельными.

Геометрия Лобачевского может быть развита, как и геометрия Евклида, не встречая логических противоречий, но приводя к теоремам, в большей или меньшей мере идущим против интуиции.

По геометрии Лобачевского, сумма углов в треугольнике меньше двух прямых и т.д.

Меньшая степень очевидности аксиомы о параллельных линиях (и еще меньшая 11-й евклидовой аксиомы) в сравнении с другими евклидовыми аксиомами убеждала математиков в ее зависимости от более очевид-ных положений.

Как известно, в продолжение 2000 лет математики старались ее доказать. Сперва делались попытки прямого доказательства, затем доказательства приведением к абсурду т.е. построения системы теорем, в основе которых лежало бы отрицание аксиомы о параллельных и которая приводила бы к логическому противоречию.

Труды Лобачевского составляют эпоху в геометрии, в них заложено зерно логическо-математических исследований. Лобачевский не доказал 11-й аксиомы, не доказал и невозможность такого доказательства, т.е. независимость этой аксиомы от других евклидовых аксиом. Он дал систему геометрии, вполне отвечающей евклидовой, в основе которой лежало отрицание аксиомы о параллельных и которая была свободна от всяких логических противоречий.

За его работой должно было последовать исследование, доказывающее, что и при дальнейшем своем продолжении геометрия Лобачевского не может встретить противоречия.

Для этого необходимо было отыскать объекты, реализованные в обыкновенной евклидовой геометрии, представляющие [собой] эквиваленты плоскостей, прямых и точек относительно тех зрительных и метрических аксиом евклидовой геометрии, которые остаются по исключении аксиомы о параллельных.

Путь, избранный Бельтрами (который ограничивался лишь плоской геометрией) был следующим: за эквиваленты прямых геометрии Лобачевского ои принимал геодезические линии на некоторой поверхности (псевдосферы).

Эти геодезические линии определяются двумя точками, могут быть безгранично продолжены и т.д.

Через данную точку проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих данную геодезическую линию и заключающихся между двумя геодезическими линиями. К сожалению, задача не была вполне решена. Бельтрами было доказано, что геометрия псевдосферы только в некоторой определенной области совпадает с геометрией Лобачевского.

Другие эквиваленты, например, указанные Клейном, более успешно привели к цели. Установив общую логическую схему для различных объектов

А,В,С... и А,В,С...

естественно искать субстраты для этой схемы, понятия более широкого объема, чем А, В, С... А, В, С...; классы, видами которых являются, как

А, В, С., таки А,В,С.. .

Упомянутые выше двойственные зрительные аксиомы и выводимые из них двойственные теоремы могут быть заменены единичными, объединяющими каждую пару, если установить чисто абстрактные объекты:

элементы — которыми могут быть как точки, так и плоскости

носители первой ступени - прямые

второй ступени - плоскости или точки.

Тогда аксиомы об определяемости тремя точкам плоскости, и тремя плоскостями точки объединяются в следующей абстрактной аксиоме:

Три элемента, не принадлеоюащие одному носителю первой ступени, определяют носителя второй ступени.

Итак, наш логический анализ ведет нас к построению все более и более общих классов, ведет от объектов интуиции к все более и более абстрактным объектам.

Он вскрывает дальше, что некоторые математические понятия подходят под чисто логические понятия. И многие теоремы вытекают из некоторых свойств, наличность которых может быть установлена для этих логических объектов, не математизируя их.

В высокой степени интересна и поучительна история идеи группы, одной из кардинальных идей современной математики.

Предположим, что мы имеем совокупность некоторых объектов: я,. аг,ау..а^..(а)

и некоторую операцию Р, которую мы производим над некоторыми чис-лами этих объектов. Операция эта может дать, или не дать результата.

Если результат получается, то он может не принадлежать совокупности (о). Если результаты операции Р приводят всегда к объектам (а), то последняя совокупность объектов будет группой относительно операции Р.

Возьмем совокупность целых чисел. Мы будем иметь группы относительно сложения и вычитания, ибо сложение и вычитание целых чисел приводит опять к целым числам. Таким же образом целые положительные числа будут группой относительно сложения.

Совокупность рациональных чисел будет представлять группу относительно всех четырех арифметических действий.

Приведем еще геометрический пример. За операцию Р будем считать определение по трем точкам четвертой гармонической: тогда совокупность всех точек прямой (пушсгуал) будет представлять [собой] группу. Понятие группы, конечно, чисто логическое понятие. Это понятие, разумеется, более широкое, чем число, ибо только частью арифметических аксиом утверждается следующее свойство чисел: что их совокупность относительно 4-х арифметических действий образует группу.

Идея группы может выступить и там, где нет никакого намека на математику. Можно, например, сказать, что все человечество отно-сительно брака образует группу.

За упомянутые объекты: ар о,... можно принять также некоторые операции.

В этом случае Р будет операцией над операциями. За Р обычно принимают просто соединение двух операций, т.е. совершение двух операций в последовательном порядке.

Тогда определением группы будет условие: а а = а

т.е. последовательное совершение двух операции - совокупность (а), равносильно одной операции (а).

Группу операций образует совокупность всех проективных пре-образований.

Проективное преобразование иа прямой определяется формулой

, _ ах + b сх + d '

связующей координату точки с координатой ее преобразования (образа). Совокупность двух проективных преобразований

ах + b а'х' + Ь' х'= , х" =-

cx+d c'x' + d' дает проективное преобразование:

ах + 13

х"= -

ух+5

Не останавливаясь на многочисленных примерах групп, укажем на то, что молено доказать ряд теорем, относящихся к группе, правда не наиболее общего типа, но столь общего, что под него подходят все те группы преобразований, с которыми до сих пор имела дело математика. Для этого следует установить ряд постулатов, определяющих тип группы, который молено назвать нормальным.

Молено написать их в символической форме, обозначая через операцию и имея в виду, что а о Ь вообще отлично от b о а.

I) а о Ь = с, т. е. всегда имеется результат, причем, согласно определению группы, оно входит в совокупность а, Ь, с.., П) ( а о Ь) о с ~ а о (Ь ° с) (ассо-циативный закон), III )Іоі = І

(постулируется существование идемпотента (т.е. каким является 1 для умножения, 0 или 1 для сложения))

-IV) постулируется единственность идемпотента, V) модулей направо и налево а о і = а і о а = а

,1 s

VI) взаимных элементов ,

а о а' , = і а' о а = і

«і %

Это постулаты. Основываясь на них молено доказать теоремы:

Тождество обоих модулей и обоих взаимных элементов. Если сто Ь = а о Ь' то b = b'.

Существование решения уравнения а о х = b и т.д. Отсюда мы видим, что, идя по пути обобщения, мы приходим к понятию чисто логическому; не меняя самого метода исследования, мы исследуем это понятие, доказываем ряд теорем, употребляя символику, подобную математической.

Отсюда вполне естественно вытекает стремление свести все ма-тематические понятия и аксиомы к чисто логическим, найти чисто ло-гические субстраты тем логическим схемам, в которые укладывается арифметика и геометрия.

Это направление принадлежит школе логиков, [к которым относятся] Пеано, Рассел, Кутюра и т.д.

В основу арифметики и геометрии они кладут чисто логические аксиомы, арифметические и геометрические объекты они определяют логически.

Сводя операции формальной логики к нескольким основным, они приводят их к операциям над символами и таким образом в логике мыслят математически.

Таким образом, если так можно выразиться, производится единовременно и логизация математики и математизация логики.

Но это сближение, или это поглощение математики логикой, становится возможно только при расширении старой классической логики, при включении в нее новых элементов.

Прежде всего приходится развивать наряду с логикой классов, каковой является классическая логика, еще логику предложений.

Классическая логика изучает операции над классами. Классический силлогизм представляет [собой] включение и исключение индивидуумов и видов в классы и из классов.

"л есть by b есть с, следовательно, а есть с" представляет [собой] такую операцию:

"а, принадлежащее классу Ь, включается в класс с, ибо Ь принадлежит

с".

Но в том же силлогизме можно видеть операцию над предложениями, установку связи между большой посылкой и заключением. Заключение вытекает из большой посылки в силу малой посылки.

Таким образом операция силлогизма подводится под весьма общее понятие выведения. Из предложения р может вытекать предложение q в силу малой посылки, но можно рассматривать этот вывод p->q совершенно независимо от того, что обуславливает этот вывод. Можно рассматривать вывод p^q просто как факт.

Логика предложений раскрывает нам, что не все логические операции сводятся к приложению принципов тождества и противоречия.

Но этого мало. Силлогизм устанавливает отношение индивидуума к класс)'. Понятие отношения - предмет логики, но не всякое отношение есть отношение индивидуума к классу. Необходимо поэтому логику предложений и логику классов дополнить логикой отношений.

Но логики имеют немало врагов.

Пуанкаре видит в их определениях ложный круг, определение неизвестного через неизвестное.

В особенности резким выступает это в определении Кутюром единицы:

% "Один, - говорит Кутюра, - есть число элементов класса, два любых элемента которого тождественны".

Один здесь определяется через два, и, если бы Кутюра попросили определить два, то, по мнению Пуанкаре, он определил бы два через единицу.

Мы не считаем, что логики были бы так виноваты, как это представляется Пуанкаре, чтобы все их определения грешили бы в том же отношении.

Приведенное выше словесное определение освободится от этого обвинения, если его несколько иначе выразить:

"Один есть число элементов класса со всеми тождественными . элементами".

Число два, неприятно резавшее ухо, исчезло.

Класс со всеми тождественными элементами - это вместе с тем [есть] тот [класс], в котором любые два элемента являются тождественными.

Обнаружимость тождественности любых двух элементов - это не характерный признак, служащий определением такого класса, а только лучший способ проверки, что данный класс именно таков.

Здесь делается такая же ошибка, как при определении равных треугольников их конгруэнтностью, т.е. возможностью полного поло-жения одного на другой. На это последнее свойство следует смотреть как на свойство, определяемое некоторой аксиомой, имеющей место для треугольников (в то время, как аналогичная аксиома не имеет места для тетраэдров): из нее вытекает способ для удостоверения в равенстве треугольников.

Но я вполне согласен, что логики не дали чисто логических определений арифметических объектов, да и не могут их дать.

Всякое истинное определение должно однозначно соответствовать определяемому объекту, но, конечно, такого соответствия в определениях логиков не имеется.

Говоря о логиках, мы приходим к вопросу о математических определениях, причем будем говорить только о геометрических определениях.

Вот два кардинальных вопроса, касающиеся математических оп-ределений: что можно определить и какую роль играет определение в математическом доказательстве?

Очевидно, не все может быть определено. Если логики и стараются логически определить число, то конечно, они не имеют никакого

намерения определить логические термины, входящие в их определения.

Основные геометрические элементы: плоскость, прямая и точки и связи между ними являются неопределимыми геометрическими объектами.

Можно выставлять как определение те основные постулаты, ко-торым подчиняются эти элементы. Но постулаты эти не определяют ни каждый в отдельности, ни даже все вместе ни точки, ни прямой, ни плоскости.

Те признаки, которыми приходится дополнять признаки, задаваемые постулатами, определяются интуицией и выразить их логическими терминами настолько же возможно, как объяснить цвет слепому с помощью звуков.

Всякая попытка определить, например, точку, приводит в лучшем случае к определению точки с помощью других интуитивных данных, в худшем - к определению х через X.

Определения могут быть чисто словесными сокращениями - тогда [мы] будем иметь поминальные.определения.

Пример номинального определения: катет — сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу.

Роль номинального определения вполне ясна. Номинальное определение сокращает изложение доказательства, дает возможность вместо того, чтобы каждый раз говорить "сторона прямоугольного треугольника" и т.д., употреблять одно слово "катет".

Так что логического, в собственном смысле, значения номинальное определение не имеет.

Но, конечно, не все геометрические определения таковы. Нельзя назвать обычное определение круга номинальным.

Некоторые относят это определение к генетическим и считают, что кроме номинальных определений в геометрии возможны только генетические, т.е. такие, в которых дается способ образования определяемого объекта с помощью известных элементов.

Определяя окружность как геометрическое место точек, отстоящих на одно и тоже расстояние от данной точки, мы вовсе не указываем этим способ образования или вычерчивания круга (хотя это сейчас же выводится из его определения). Мы определяем совокупность точек (пун- ісіуал), удовлетворяющих определенному условию. Этому пунктуалу отвечает одна и только одна определенная кривая - носитель этого пуик- туала. Пушсгуал ие составляет кривой, ио он однозначно с ней связан.

Таким образом дело обстоит так:

Объект В дается заданием объекта А, однозначно с ним связанного, т.е. таким, что, если дается А, то вместе с тем дан В и если дан В, то дан и А. Но связь между /1 и Вне может быть определена в логических терминах, а дается только интуицией. В этом случае имеет место логическая эквивалентность А и В, как для постулатов, так и для выводимых из них положений. Так, в предложении: "две точки определяют пунктуал", пунктуал можно заменить прямой и сказать: "две точки оп-ределяют прямую".

Литература к лекции I На русском языке:

Кутюра. Принципы математики. Перев, Линда.Изд. Карбасникова.Спб. 1913. (богатая библиография).

Кутюра. Алгебра логики. "Матезис". Одесса. 1909.

Пуанкарэ. Гипотеза и наука.

Пуанкарэ. Метод и наука.

Фосс. О сущности математики."Физика", Спб. 1911.

Каган. Основы геометрии. Одесса. 1905-07.

Бонола. Неевклидова геометрия.

Вебер-Вильштейн. Энциклопедия элементарной математики. Т. 1.Матезис. Одесса. 1909.

Энршсес. Вопросы элементарной математики.

Ващенко-Захарченко. Начала Евклида с примечаниямими.

Далеман. Проективная геометрия. Пер. Лагутинского. На французском языке:

Peano. Formulaire de Mathemaliques.

Peano. Notations de logique Mathemaliques. Turin. 1894.

Padoa. La logique deductive. Paris. Gauthier Villars. 1912.

Liard. Definitions mathematiques. Paris. Alcan. 1903.

Favaro. Lecons de statique graphique t. I. Geometric de Position.Paris. Gauthier Villars. 1879.

На немецком языке:

Hilbert. Grundlagen der Geometrie. Leipzig. Teubner. 1903.

Killing und Hovestadt. Handluch des Math. Unterrichts. t.I. Leipzig. Teubner. 1910 (библиография).

Genochi. DilTerentialrechnung und Integralrechnung, Anhang I.Teubner. 1899.

Лекция II. Гносеология и Математика.

В заключении находится только то, что дано в посылках. Не дают ли правила формальной логики одну тавтологию, маскировку тождеств А есть А. Не представляют ли логические схемы только мертвое орудие, оживить которое могут лишь интуиция и опыт? Пуанкаре отрицает, чтобы живое математическое рассуждение, ведущее нас от истин к новым истинам, представляло бы одну мертвую логическую схему. За живительный дух, кото- рый движет математическое рассуждение вперед, он считает полную математическую индукцию, логически неопределимую. Шаг вперед делает математика всякий раз, когда принимает этот принцип:

Если какое-либо свойство справедливо для 1 и если установлено, что оно справедливо для п+1, коль скоро оно справедливо для п, то оно верно для всех целых чисел.

Пуанкаре считает, что применение этого принципа заключает в себе бесконечное множество силлогизмов:

Теорема верна для числа 1.

Если же она справедлива для 1, то верна и для 2.

Следовательно верна для 2.

Если верна для 2, то верна для 3.

Следовательно верна для 3 и т.д.

С таким мнением нельзя согласиться. Конечно, применение принципа полной индукции можно представить бесконечным числом силлогизмов, но все эти силлогизмы нетрудно свести к одному, если только признать принцип индукции или за определение целого конечного числа (как Кутюра) или за характерное свойство, обнаружимое одной из аксиом, к нему относящейся.

Неверно и то, что правила форма льной логики дают только замас-кированное тождество А=А. Ибо не только на этом принципе зиждутся эти правила.

Существуют принципы, отмечаемые новой логикой, совершенно не выводимые из этого принципа, как, например, принцип упрощения, относящийся к логике предложений, выражаемый логической формулой:

pnq-) p '

т.е. утверждение двух положений p.q влечет утверждение одного из них, содержащее в себе операцию логического умножения, которой иет в принципе тождества. Поэтом}' опасение, что математические построения по правилам формальной логики будут замаскированными утверждениями А=А не имеет основания.

Трудность, а может быть, и полная невозможность чисто логического обоснования математики происходит вследствие следующих двух препятствий:

вначале выступает невозможность чисто логического определения математических понятий по причинам, указанным в первой лекции,

в дальнейшем чисто психологическая невозможность проведения чисто логических операций без обращения к интуиции.

Правда, нам кажется странной возможность построения всей ма-тематики только с помощью такого рода операций, нам кажется невероятным, чтобы математика представляла [собой] только комбинацию одних и тех же элементов.

Но причина такой кажущейся невероятности чисто психологически!, это факт скрытых аксиом, которые и дангг нам своего рода ходули при логических построениях. Полную систему аксиом нам трудно, а может быть, психологически и невозможно собрать.

Но, если мы предположим ее собранной, то можно утверждать, что выведение всех положений математики может быть совершено по правилам формальной логики, при этом возможность эта рассматривается с логической точки зрения, а ие с психологической.

То, что может быть невозможно психологически, возможно логически. Но логическая точка зрения отличается также и от гносеологической. Возможность выведения математических положений из аксиом не есть еще возможность их познания, ибо познание не дается одной логикой.

Установка логических аксиом для интуитивного материала, подведение последнего под логические категории требует операций, которые не могут быть выражены никакими логическими формулами.

Интеллектуализм Рассела и Кутюра заходит слишком далеко, ут-верждая, что построение всего математического знания возможно из чисто логических понятий и аксиом.

Кант называет аналитическими такие суждения, в которых только раскрывается содержание подлежащего, и синтетическими [те суждения] в которых подлежащему прибавляется нечто новое.

"Тело протяженно" - суждение аналитическое, ибо уже в понятие тела входит признак протяженности.

"Тело весомо" - суждение синтетическое.

Для обоснования интеллектуализма следует прежде всего доказать, что математические суждения не представляют [собой] суждений синтетических.

Для этого, конечно, открывается единственно возможный путь: доказать возможность чисто логических определений математических объектов и выведения из этих определений всех положений математики. Но легко увидеть, что этим Кант еще не опровергнут. Синтетический момент [состоит] отнюдь не в выведении из аксиом, относящихся к некоторым логическим признакам геометрических объектов (принимаемых логиками за определения), дальнейших положений, но в приписывании объекту, данному интуицией, определенных логических признаков.

Прямая дается нам интуицией, в этом интуитивно данном отнюдь не заключается определяемость прямой двумя точками или пересекаемость двух прямых в одной точке или аксиома о параллельных. Для этого необ-ходим акт, привносящий нечто, не заключавшееся в первоначально данном представлении прямой.

Синтетические суждения в геометрии именно и возможны, согласно Канту, благодаря пространственной интуиции. Гносеология поэтому выдвигает на первый план проблему пространства и реальной (но не логической) возможности неевклидовых пространств.

В популярно-научных сочинениях, относящихся к неевклидовым геометриям, часто для оправдания существования последних приводятся аргументы в пользу возможности реального существования пространства с устанавливаемыми ими свойствами. Наиболее доступной для понимания является иаивно-реалистичсская и эмпирическая точка зрения. Пространство рассматривается как вещь, которая представляется нам почти такой же, какова она в действительности. Опыт знакомит нас со свойствами пространства совершенно так же, как он знакомит нас со свойствами окружающих предметов и совершенно так же, как мы можем сделать незначительную ошибку в каких-либо опытных измерениях, мы молеем сделать или даже делаем в тех основных свойствах, которые мы на основании опыта приписываем пространству. Мы можем, например, ошибиться относи-тельно аксиомы о параллельных, утверждая существование одной прямой, проведенной через точку М и не пересекающей данную L, не заметив бесконечного множества таких прямых, заключающихся в очень малом пространстве, или может быть совершенно недоступном опыту.

Согласно этому воззрению, математические знания становятся возможны только благодаря опытной индукции, предшествующей логическим построениям.

Эти взгляды развиты Гельмгольцем. По Гельмгольцу, например, аксиома свободной подвижности, утверждающая возможность неизменного передвижения геометрических фиіур, лежащая в основе учения о конгруэнции, дается опытом, наблюдением твердых, не деформирующихся тел. Существо, живущее в мире быстро деформирующихся облаков и водных течений, не могло бы иметь подобной аксиомы.

Но уже в этом взгляде ясно выступает ошибка эмпириков. Неизменность или деформация твердого тела сознается сравнением его формы с первоначальной, т.е. измерением. Измерение же само предполагает неизменную меру, т.е. логически постулирует свободную подвижность.

Но, если, стоя на реалистической точке зрения, признать пространство реально существующим, но не только субъективной формой нашей интуиции, как это делает Кант, то было бы разумнее предполагать ошибку в его восприятии гораздо больше, чем та, которая обнаруживается взамен действительно существующей геометрии Лобачевского "неточной" евклидовой геометрией.

При реалистических предпосылках несравненно последовательнее Дельбеф. По его мнению прямые, круги, параболы нашего ума не суть средние приближения, результаты опытной индукции, это типы, подражания реальным явлениям, то, что мы получаем первым, так сказать, грубым приближением, в предположении, что иет разнообразия в пространстве и времени. Поэтому, по Дельбефу, мы получаем два пространства: одно иде- альное, геометрическое, другое эмпирическое, причем последнее есть вместе с тем и реальное.

Постулат возможности существования подобных фигур (аксиома Валлиса), эквивалентный постулату параллельных, выставляется Дельбе- фом как одно из основных свойств идеального пространства, как основной постулат однородности (гомогенности), который формулируется следующим образом:

"Всякий quantum можно рассматривать как уменьшенный или увеличенный образ большего и меньшего quantum ".

"Сказать, - замечает Дельбеф,- что пространство, которое мы на-селяем, евклидово, что фигуры могут быть вычерчены в различных масштабах, сводится к тому, чтобы сказать, что, если все измерения во Вселенной будут увеличены или уменьшены в одинаковом отношении, мы не будем в состоянии заметить этого изменения; это сказать: наша вселенная не имеет абсолютной величины, а только относительную". Чтобы образно показать, что реальному пространству не присуще свойство гомогенности, Дельбеф заставляет фиктивное существо Мегамикрос совершать путешествие, изменяя свои размеры, переходя из нашего мира в міф лилипутов, но являясь в этом последнем не в роли Гулливера, а сокращаясь до размеров лилипута. Перелет Мегамикроса в это волшебное царство совершается во время его сна. Предположим, что в этой стране сохранена полная пропорциональность частей, что планета лилипутов представляет нашу землю во всех ее деталях, но только с радиусом, уменьшенным, скажем, в 20 раз.

Если эмпирическое пространство однородно, как геометрическое, то Мегамикрос никогда не догадается, что он совершил во время сна путешествие. Но на самом деле будет не так. На каждом шагу он будет встречаться с такими явлениями, которые совершенно ясно будут говорить ему, что он находится не на своей родине. Так например, если для утоления жажды на своей родине он выпивал ежедневно 4 стакана воды, то в стране лилипутов, он сейчас же заметит, что 4 лилипутовых стакана будет ему мало, ибо в то время как объем стакана уменьшился в 203= 8000 раз, поверхность тела его, а потому и скорость испарения, уменьшилась лишь в 202 = 400 раз. Поэтому ему придется выпить не 4, а 80 стаканов.

Ясно, что при воззрениях Дельбефа неевклидова геометрия не найдет себе места, ибо геометрическое пространство евклидово, а эмпирическое таково, «по для него не может быть уже никакой геометрии. Но против Дельбефа можно выставить возражение, состоящее в том, что он опровергает однородность не пространства, а вселенной. Пространство получается только по исключении различного рода чисто физических свойств.

Мегамикрос должен был совершить прогулку в пространстве; как бесплотный геометрический дух, интересуясь только геометрическими фигурами. Если бы ему необходимо было создать более богатую обстановку, т.е. окружить эти фигуры вселенной, "подобной" настоящей, такой, что- бы невозможно было уловить изменение, то необходимо было бы уменьшить в соответствующей пропорции молекулы, а в этом случае, как показал Лешаля, вычисления Дельбефа оказываются неверными.

Если Дельбеф отделяет геометрическое пространство от эмпирического и последнее признает реальным, то Лотце, тоже противник метаге- ометрии, отожествляет геометрическое с эмпирическим, противополагая ему реальное. У него тоже два пространства, причем второе еще менее походит на геометрическое, чем эмпирическое пространство Дельбефа. Оно, по выражению самого Лотце, также отличается от геометрического пространства, как интервал между двумя ногами отличается от прямой линии. Оно состоит во взаимоотношении между монадами, сознающими эти вза-имоотношения, как модификацию их внутренних состояний. Таким образом это "второе" пространство таково, что для него какая-либо геометрия представляется невозможной. А так как первое пространство единственное, представляемое нами евклидовым, то отсюда вытекает невозможность других пространств, кроме евклидова.

Влияние Канта достаточно сильно в гносеологии, чтобы грубо реалистические и эмпирические взгляды могли бы долго выжить. Более глубокий анализ естественно приводит метагеометров к Канту. В основе гносеологических взглядов Канта лежит учение о пространстве и времени как априорных формах интуиции. По учению Канта пространство не дается нам опытом, а само предваряет всякий опыт и, в противоположность учению Ньютона, не представляет собой находящееся вне нас вместилище вещей, [также как], в противоположность учению Лейбница, не является свойством этих последних, а представляет собой субъективную форму, находясь не вне нас, а внутри нас.

Аксиомы арифметики и геометрии даются ишуицией и представляют [собой] синтетические суждения.

Защитники иного существования метагеометрии, чем логическое, должны были сделать уступки Канту. Сдаться ему вполне они не могли, ибо "чистый Кант" признавал только одну геометрию, т.е. ту евклидову геометрию, которая дается интуицией. Априорность пространств доказывается Кантом аподикгичностью (т.е. характером безусловной необходимости) аксиом и, обратно, из априорности выводится аподиктичность аксиом.

Признавая другие геометрии, мы посягаем на аподиктичность аксиом и вместе с тем и на априорность пространства.

Поэтому следовало не во всем уступать Канту, необходимо было создать нового Канта или "полу-Канта".

Полукаитианцем является Рассел, справедливо отделяющий гносеологическую точку зрения от психологической, смешение которых наблюдается у Канта. Отличая вопрос о субъективности пространства, как вопрос психологический, от вопроса об априорности, как вопроса гносео- логического, Рассел исследует только последний, признавая только некоторые свойства пространства предваряющими опыт.

Но в то время, как для Канта пространство представляет [собой] голую интуицию, причем аксиомы геометрии даются только интуицией, по Расселу пространство предваряет опыт, как концепция, понятие, из которого вытекает логически ряд пространственных аксиом. Априорным пространство является только как концепция формы внешности, дающей воз-можность рассматривать объекты опыта, как находящиеся во внеположен- иости, одно вне другого. Все остальные признаки пространства не предваряют опыт, а являются элементами апостериорными, данными опытом.

Нельзя сказать, чтобы выводы априорных аксиом из концепции формы внешности молено было бы признать строгими и едва ли Рассел мог бы их уложить в строго логические схемы, построенные по правилам его формальной логики.

Аксиомами априорными являются прежде всего его зрительные аксиомы. Из аксиом метрических:

Аксиома свободного передвижения: пространственные величины могут быть перемещаемы без деформаций.

Аксиома измерений: пространство имеет конечное число измерений.

Аксиома расстояния: существует одно и только одно отношение между двумя точками.

Аксиома о параллельных является одной из апостериорных ак-сиом.

Нам представляется главным возражением против реальности не- еквилидовых геометрий то, что при эмпирическом взгляде ГельмгоЛьца и полуэмпирическом взгляде Рассела остается необъясненной аподикгичность геометрических аксиом. Поэтому приходится или отрицать этот факт, или давать то объяснение якобы кажущейся аподикгичности аксиом, которое мы находили у Юма и недостаточность которого вполне доказана Кантом. Сколько бы раз ни повторялся опыт, он никогда не мог бы дать тот характер безусловной необходимости, который имеют геометрические аксиомы. Степень очевидности аксиомы о гомогенности пространств едва ли меньше, чем аксиомы об изогенности пространства, утверждаемой первой мет-рической аксиомой Рассела, и этот факт допускает единственное объяснение, что обе аксиомы имеют одно и тоже происхождение, одну и ту же гносеологическую ценность.

Как одну из аксиом, логически вытекающих из концепции формы внешности, Рассел выставляет аксиому измерений, требующую обязательно конечного числа измерений для пространства. Трехмерность же пространств, т.е. тот факт, что число измерений равно трем, Рассел считает за опытное данное. Вследствие того, что число измерений [есть] число целое, а эмпирическое пространство должно мало отличаться от действителыго- го, то трехмерность нашего пространства должна быть признана за достоверный факт.

Отсюда следует, что, например, геометрия четырехмерного пространства не может претендовать на того рода возможность, которая предоставляется геометрии Лобачевского. По Расселу и эмпирикам, евклидова геометрия может представлять и, вероятно, представляет приближение к "истинной" геометрии Лобачевского или Римапа. Что касается четырехмерной геометрии, то она имеет исключительно логическое значение.

Нам кажется, что дело обстоит как раз наоборот. Если сознательная душевная жизнь не представляет всей полноты психической жизни, если сознание должно быть дополнено подсознанием, в котором психическими явлениями управляют те же законы, которые мы усматриваем в области, озаренной сознанием, то будет вполне естественно мыслить форму интуиции для расширенного опыта бессознательной психики тоже шире. Если сознанию доступна только гиперплоскость, или только поверхность четырехмерного пространства, то в глубине бессознательного может выступить интуиция четвертого измерения, не отвергающая трехмерную гео-метрию, а дополняющая ее.

Интуиция нам говорит, что то пространство, которое находится в нашем сознании, имеет три измерения, но она ничего не может сказать о четвертом измерении, которое оказывается под порогом сознания.

Совершенно иначе с неевклидовой трехмерной геометрией. Здесь прежде всего следует отвергнуть то, что утверждает в нашем сознании интуиция. Последняя дает нам не только факты, но вместе с тем и характер безусловной необходимости этих фактов.

Геометрия четырех измерений получается, если мы к основным геометрическим объектам: точке, прямой и плоскости присоединим еще гиперплоскость и дополним постулаты трехмерного пространства некоторыми постулатами, относящимися к четырехмерному. Найти последние нетрудно. Для этого следует усмотреть, каким образом совершается переход от постулатов двухмерного к постулатам трехмерного пространства. Так, можно сказать: четыре точки, не лежащие в одной плоскости или на одной прямой, определяют гиперплоскость, и четыре гиперплоскости, ие проходящие через одну плоскость или одну прямую, определяют точку.

Многие теоремы четырехмерного пространства могут быть построены непосредственно, как аналогоиы соответствующих теорем трехмерного пространства. Примером ряда поиятий-аналогонов может служит ряд простейших образов: в пространстве одного измерения - две точки, двух - три прямые - треугольник, трех - четыре плоскости - тетраэдр. СЛЕДУЯ ПРАВИЛУ, ПО КОТОРОМУ ПЕРЕХОДИЛИ ОТ ОДНОГО АНАЛОГОНА К СЛЕДУЮЩЕМУ, МОЖЕМ ЧЕТВЕРТЫМ ЧЛЕНОМ УПОМЯНУТОГО РЯДА ПОСТАВИТЬ: В ПРОСТРАНСТВЕ 4-Х ИЗМЕРЕНИЙ,
ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ТЕЛО, ОБРАЗОВАННОЕ ПЯТЬЮ ГИПЕРПЛОСКОСТЯМИ - ПЕН- ТАЭДРОИД.
ИЗУЧЕНИЕ ПЕНТАЭДРОИДА ПРОИЗВОДИТСЯ ПРОЕКТИРОВАНИЕМ ЕГО В ГИПЕРПЛОСКОСТЬ, КОТОРУЮ ПРЕДСТАВЛЯЕТ ВСЕ НАШЕ ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО.
ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ПРОЕКЦИЮ ТРЕУГОЛЬНИКА НА ПРЯМУЮ, НАДО ВЗЯТЬ ТРИ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ И ОТРЕЗКИ ИМИ ОБРАЗУЕМЫЕ,
ТЕТРАЭДРА НА ПЛОСКОСТИ - ЧЕТЫРЕ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ И ТРЕУГОЛЬНИКИ, ИМИ ОБРАЗУЕМЫЕ.
ОТСЮДА СЛЕДУЕТ, ЧТО ПРОЕКЦИЯ ПЕНТАЭДРА ПОЛУЧИТСЯ, ЕСЛИ ВЗЯТЬ ПЯТЬ ТОЧЕК В ПРОСТРАНСТВЕ (ГИПЕРПЛОСКОСТИ) И ПЯТЬ ТЕТРАЭДРОВ, ИМИ ОБРАЗУЕМЫХ.
МОЖНО, СЛЕДУЯ ПРАВИЛУ АНАЛОГОНОВ, СОЗДАТЬ И МЕХАНИКУ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА.
ПО ПУТИ СМЕЛЫХ ОБОБЩЕНИЙ МОЛЕНО ИДТИ И ДАЛЬШЕ, РАССМАТРИВАЯ ВРЕМЯ, КАК МНОГООБРАЗИЕ НЕ ОДНОГО, А ДВУХ ИЗМЕРЕНИЙ, МЫСЛЯ ТО, ЧТО ОТНОСИТЕЛЬНО ДАННОГО МОМЕНТА НЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТ [СОБОЙ] НИ НАСТОЯЩЕЕ, НИ ПРОШЕДШЕЕ, НИ БУДУЩЕЕ. В ПОСЛЕДНЕЕ ВРЕМЯ МНОГО ШУМА НАДЕЛАЛИ ЕЩЕ БОЛЕЕ СМЕЛЫЕ ВЗГЛЯДЫ МИНКОВСКОГО. В МЕХАНИКЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА ПРИХОДИТСЯ, СЛЕДУЯ АНАЛОГИИ ТРЕХМЕРНОЙ МЕХАНИКИ, РАССМАТРИВАТЬ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ ЕЕ ЧЕТЫРЕ КООРДИНАТЫ: Х, У, Z, И, КАК ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ Т.
ДВИЖЕНИЕ БУДЕТ ПРОИСХОДИТЬ В ГИПЕРПЛОСКОСТИ, Т.Е. В НАШЕМ ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ, ЕСЛИ Х, У, Z, И ДЛЯ ВСЯКОГО I СВЯЗАНЫ ЛИНЕЙНЫМ СООТНОШЕНИЕМ:
АХ + BY + CZ + DU + Е = О, ПРЕДСТАВЛЯЮЩИМИ УРАВНЕНИЕ ГИПЕРПЛОСКОСТИ.
МЫ ПОЛУЧИМ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА НЕКОТОРОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ, ЕСЛИ СВЯЖЕМ (Х, У, Z, И,) ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ:
Q (Х, У, Z, И) = 0 (*)
МОЖНО СДЕЛАТЬ ТАКОЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ: НАШЕ ПРОСТРАНСТВО НЕ ГИПЕРПЛОСКОСТЬ, А НЕКОТОРАЯ, ОТЛИЧНАЯ ОТ НЕЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ; ДЛЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА (А СЛЕДОВАТЕЛЬНО И ДЛЯ ГИПЕРПЛОСКОСТЕЙ, В НЕМ ЗАКЛЮЧАЮ-ЩИХСЯ) ОБЪЕМЛЮЩЕГО ЭТУ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ ИМЕЕТ МЕСТО НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ. ИСТОЧНИКОМ ОШИБОЧНОГО ВЗГЛЯДА НА НАШЕ ПРОСТРАНСТВО, ГАК ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДОВО, СЛУЖИТ ТО, ЧТО МЫ НЕКОТОРЫЕ КРИВЫЕ, МАЛО ОТЛИЧАЮЩИЕСЯ ОТ ПРЯМЫХ, ПРИНИМАЕМ ЗА ПРЯМЫЕ, ПРИПИСЫВАЯ ПОСЛЕДНИМ ТЕ СВОЙСТВА, КОТОРЫЕ НА САМОМ ДЕЛЕ ПРИСУЩИ ПЕРВЫМ.
ВОЗДЕРЖИВАЯСЬ ОТ ВОЗРАЖЕНИЙ НА ЭТИ ВЗГЛЯДЫ, УКАЖЕМ, В КАКОМ, НАПРАВЛЕНИИ ДОЛЖНО ИДТИ ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИХ ОБОБЩЕНИЕ. ДЛЯ ЭТОГО СЛЕДУЕТ ТОЛЬКО УРАВНЕНИЕ (*) ЗАМЕНИТЬ БОЛЕЕ ОБЩИМ
П (Х, У, Г, И, Т) = О
Т.Е. ПРИНЯТЬ ЭТУ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ ДЕФОРМИРУЮЩЕЙСЯ В ТЕЧЕНИЕ ВРЕМЕНИ. 48
В ЭТОГО РОДА ПРОСТРАНСТВЕ И СТРОИТСЯ МЕХАНИКА МИНКОВСКОГО. ФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ ПРОИСХОДЯТ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (?:, У, Z, И). НО, ЧТО ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ КООРДИНАТА И?
ЭТОЙ КООРДИНАТОЙ ЯВЛЯЕТСЯ ВРЕМЯ T, НО ТОЛЬКО ИНОЕ, ЧЕМ УПОМЯНУТОЕ ВЫШЕ Т.
В МЕХАНИКЕ МИНКОВСКОГО ПРИХОДИТСЯ РАЗЛИЧАТЬ АБСОЛЮТНОЕ ВРЕМЯ T ОТ СОБСТВЕННОГО X,
В ЭТИХ ВОЗЗРЕНИЯХ МЫ ИМЕЕМ НЕ ОДНО ПРОСТРАНСТВО, А ОСОБОЕ СОЧЕТАНИЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ, НАХОДЯЩЕЕСЯ В ТАКОМ ЖЕ ОТНОШЕНИИ К ГЕОМЕТРИЧЕСКОМУ ПРОСТРАНСТВУ Н АБСОЛЮТНОМУ ВРЕМЕНИ, В КАКОМ У ЭМПИРИКОВ- МЕТАГЕОМЕТРОВ НЕЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО НАХОДИТСЯ В ОТНОШЕНИИ К ЕВКЛИДОВУ.
ВОЗРАЖЕНИЯ, УПОМЯНУТЫЕ НАМИ, ОСТАЮТСЯ И ЗДЕСЬ ЕЩЕ В БОЛЬШЕЙ
СИЛЕ.
НО ВОЗЗРЕНИЯ МИНКОВСКОГО ИМЕЮТ ЕЩЕ СВОЙ СПЕЦИАЛЬНЫЙ НЕДОСТАТОК: ЭТО ЧРЕЗВЫЧАЙНАЯ СЛОЖНОСТЬ И ИСКУССТВЕННОСТЬ.
ЕСЛИ В НИХ ВИДЕТЬ НЕЧТО БОЛЬШЕЕ, ЧЕМ ОДНУ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ИНТЕРПРЕТАЦИЮ, ТО НАДО СОЗНАТЬСЯ, ЧТО ФИГУРИРОВАНИЕ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ, НАРЯДУ С ОДНОРОДНЫМИ ДРУГИМИ ТРЕМЯ ИЗМЕРЕНИЯМИ, СОВЕРШЕННО ОТЛИЧНЫМИ ОТ ЭТОГО ЧЕТВЕРТОГО, УЖЕ ДОСТАТОЧНО ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ПРИЗНАТЬ ВЕСЬ ЭТОТ СЛОЖНЫЙ АППАРАТ ХОТЯ И ГЕНИАЛЬНО ЗАДУМАННЫМ, НО СОВЕРШЕННО НЕВЕРОЯТНЫМ.
ЛИТЕРАТУРА К ЛЕКЦИИ II НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ:
КАНТ. КРИТИКА ЧИСТОГО РАЗУМА. ПЕР. СОКОЛОВА. СПБ. 1897.
КУНО ФИШЕР. ИСТОРИЯ ФИЛОСОФИИ,
2) ЧЕЛПАНОВ. ПРОБЛЕМА ВОСПРИЯТИЯ ПРОСТРАНСТВА, Ч. II.
4) БОГОМОЛОВ. СОВРЕМЕННЫЕ ВОЗЗРЕНИЯ НА ГЕОМЕТРИЮ. ЖУРНАЛ ФИЗИКО-
ХИМИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА. 1907. (?) МИНКОВСКИЙ. ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ."ФИЗИКА". СПБ. 1911. 6) НОВЫЕ ИДЕИ ФИЗИКИ. ЗАКОН ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. ИЗД. "ОБРАЗОВАНИЕ". НА ФРАНЦУЗСКОМ ЯЗЫКЕ:
RUSSEL. LES PRINCIPES DE GEOMETRIC TRAD. CADENAT. PARIS. GAUTHIER VILLARS.
1901. (БИБЛИОГРАФИЯ).
DELBOEUF. PROLEGOMENES DE LA GEOMETRIC ET SOLUTION DESPOSTULATS. LIEGE. I860 И ДРУГИЕ ЕГО СОЧИНЕНИЯ (СМ. RUSSEL).
2) LECHALAS. INTRODUCTION A LA GEOMETRIE GENERALE.
JOUFFRET, TRAITE ELEMENTAIRE DE GEOMETRIE A QUATRE DIMENSIONS. PARIS. GAUTHIER VILLARS. 1903.
BUCHER, ESSAI SUR 1'HYPERESPACE. PARIS. ALCAN. 1905.
6) BRUNSCHVIGG. LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIC MATHEMALIQUE. PARIS. ALCAN. 1912.
НА НЕМЕЦКОМ ЯЗЫКЕ:
RIETMANN. UEBER DIE HYPOTHESEN WELCHE DER GEOMETRIC ZU GRANDE LIEGEN. WERKE. S. 255-268.
ERDMANN. DIE AXIOME DER GEOMELRIE.
ЛЕКЦИЯ III. ПСИХОЛОГИЯ И МАТЕМАТИКА
МОЖЕТ ЛИ БЫТЬ ТЕСНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ СТОЛЬ РАЗНОРОДНЫМИ НАУКАМИ, КИС МАТЕМАТИКА И ПСИХОЛОГИЯ? Я ДУМАЮ, ВАМ ПОКАЖЕТСЯ ВЕСЬМА СТРАННЫМ МОЕ НАМЕРЕНИЕ ЗАЩИТИТЬ В НАСТОЯЩЕЙ ЛЕКЦИИ СЛЕДУЮЩИЙ ДВОЙНОЙ ТЕЗИС: МАТЕМАТИКА, ИЛИ, ЛУЧШЕ СКАЛСУ, БУДУЩАЯ МАТЕМАТИКА В СВОИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ БУДЕТ ВЫПОЛНЯТЬ ТРЕБОВАНИЯ ПСИХОЛОГИИ, А БУДУЩАЯ ПСИХОЛОГИЯ ПРОНИКНЕТСЯ МАТЕМАТИКОЙ.
МЫ УЖЕ ТЕПЕРЬ ДОВОЛЬНО КАПРИЗНЫ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМ. МЫ ИЩЕМ НЕ КАКОЕ-ЛИБО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, А ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРОСТОЕ И ИЗЯЩНОЕ. УДОВЛЕТВОРИТЬ ТРЕБОВАНИЯМ ЛОГИКИ МАЛО, НЕОБХОДИМО ПРИНЯТЬ ВО ВНИМАНИЕ И ПРИТЯЗАНИЯ ПСИХОЛОГИИ.
ИЗУЧАЯ ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, МЫ ИНТЕРПРЕТИРУЕМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ КОМПЛЕКСНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ Z = Х + YI, ПРЕДСТАВЛЯЯ ЕГО ТОЧКОЙ НА ПЛОСКОСТИ С КООРДИНАТАМИ (Х, У).
ИЗМЕНЕНИЕ Z МЫ ПРЕДСТАВЛЯЕМ ДВИЖЕНИЕМ ЭТОЙ ТОЧКИ. КОНЕЧНО, МЫ МОГЛИ БЫ ИЗУЧАТЬ КОМПЛЕКСНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ЧИСТО АНАЛИТИЧЕСКИ, НЕ ПРИБЕГАЯ К ГЕОМЕТРИЧЕСКОМУ ОБРАЗУ.
ТЕОРЕМУ: "МОДУЛЬ СУММЫ МЕНЬШЕ ИЛИ РАВЕН СУММЕ МОДУЛЕЙ" МЫ МОЖЕМ ДОКАЗАТЬ, НЕ ВВОДЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА, ХОТЯ ВСЯКИЙ СОГЛАСИТСЯ [С ТЕМ], ЧТО ЭТА ТЕОРЕМА ПРОЩЕ ВСЕГО ДОКАЗЫВАЕТСЯ ИМЕННО ГЕОМЕТРИЧЕСКИ.
В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ В АНАЛИЗЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОЛУЧИЛ ОСОБЕННОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ, ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ БЛАГОДАРЯ ИДЕЯМ Ф. КЛЕЙНА. В ДВУХ ОТДЕЛАХ ЧИСТОЙ МАТЕМАТИКИ ТВЕРДО УСТАНОВИЛСЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР МЫШЛЕНИЯ, В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, БЛАГОДАРЯ ТЕОРИИ ХАРАКТЕРИСТИК, И В ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ, БЛАГОДАРЯ ИССЛЕДОВАНИЯМ КЛЕБША.
АБЕЛЕВ ИНТЕГРАЛ, Т.Е. ИНТЕГРАЛ ОТ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ МОЛЕНО ПРЕДСТАВИТЬ В ФОРМЕ
|F(X,Y)DX,
ГДЕ F- РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ (Х, V), А У ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ
F(X,Y) = 0
ГОВОРЯТ, ЧТО АБЕЛЕВ ИНТЕГРАЛ I LJ(X>Y)DX ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРИ
ВОЙ F (Х, У) = 0, ВООБРАЖАЯ ТОЧКУ (X, У), ОПРЕДЕЛЯЕМУЮ КООРДИНАТАМИ (Я, У). ВВЕДЯ ЭТОТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ЯЗЫК, ОСНОВНУЮ АБЕЛЕВУ ТЕОРЕМУ МОЖЕМ СФОРМУЛИРОВАТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
"ЕСЛИ ПЕРЕСЕЧЬ КРИВУЮ F(X,Y) = 0 НЕКОТОРОЙ ДЕФОРМИРУЮЩЕЙСЯ КРИВОЙ Ф (Х, У) = 0, ТО СУММА ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА

ОТНОСЯЩИХСЯ К ТОЧКАМ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЭТИХ КРИВЫХ, СОХРАНЯЕТ ПРИ ДЕФОРМИРОВАНИИ ПОСТОЯННОЕ ЗНАЧЕНИЕ".
НЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТ ТРУДА ОСВОБОДИТЬ ЭТУ ТЕОРЕМУ ОТ ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, НЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТ ТРУДА И ВСЕ ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ НЕЕ ТЕОРЕМЫ ПЕРЕЛОЖИТЬ С ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ЯЗЫКА НА ЧИСТО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ И МОЛЕНО ПРОДОЛЖАТЬ МЫСЛИТЬ, ДВИГАЯ ВПЕРЕД ТЕОРИЮ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ, ОТКАЗАВШИСЬ ОТ ВСЯКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ.
ОТ ВСЕХ ЭТИХ ОБРАЗОВ, С ЧИСТО ЛОГИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ, МЫ ИЕ ИМЕЕМ НИКАКОЙ ВЫГОДЫ. СКАЖУ БОЛЕЕ, ЕСТЬ ИЗВЕСТНАЯ НЕВЫГОДА. ЗДЕСЬ ИМЕЕТСЯ СВОЕГО РОДА ГРЕХ ПРОТИВ ЛОГИКИ ПОСТРОЕНИЯ. С ЭТОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ АНАЛИЗ ДОЛЖЕН БЫТЬ СВОБОДНЫМ ОТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ, ЧЕРПАЯ ИЗ ОДНОГО ОПРЕДЕЛЕННОГО ИСТОЧНИКА СВОИ МЕТОДЫ, НО НЕ ЗАБЕГАЯ В ОБЛАСТИ ГЕОМЕТРИИ, КОТОРУЮ АНАЛИЗ ДОЛЖЕН ПРЕДВАРЯТЬ.
КРОМЕ ТОГО, ЛЕГКО ВИДЕТЬ, ЧТО ТЕ ОБРАЗЫ, КОТОРЫЕ СЛУЖАТ НАМ ПОМОЩЬЮ ПРИ ВВЕДЕНИИ УПОМЯНУТЫХ ВЫШЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕРПРЕТАЦИЙ ЕСТЬ, В СУЩНОСТИ ГОВОРЯ, ЛОГИЧЕСКИ НЕДОЗВОЛЕННЫЕ ОБРАЗЫ. ПЕРЕСЕКАЯ КРИВУЮ, ОПРЕДЕЛЯЮЩУЮ АБЕЛЕВ ИНТЕГРАЛ, ТАКОЙ-ЛИБО ДРУГОЙ КРИВОЙ, МЫ ГОВОРИМ И ВООБРАЖАЕМ СЕБЕ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ, КАК В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ЭТИ ТОЧКИ ВЕЩЕСТВЕННЫ, ТАК И В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ОНИ МНИМЫ. ПРИЧИНА ТОГО БЕССИЛИЯ ЛОГИКИ, О КОТОРОМ ГОВОРИТ ПУАНКАРЕ, УКАЗЫВАЯ, КАК НА ОДНУ ИЗ ПОБЕД, НА ВЫВЕДЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ 27 УРАВНЕНИЙ РЕЗУЛЬТАТА: "ЕДИНИЦА ЕСТЬ ЧИСЛО", ЧИСТО ПСИХОЛОГИЧЕСКАЯ.
ИНТУИЦИЯ, А НЕ ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА С ЛОГИЧЕСКИМИ ОБОЗНАЧЕНИЯМИ ПРЕДСТАВЛЯЕТ [СОБОЙ] ТЕ КРЫЛЬЯ, НА КОТОРЫХ МЫ УЛЕТАЕМ В САМЫЕ ОТДАЛЕННЫЕ ОБЛАСТИ АБСТРАКЦИИ. ЭТИ КРЫЛЬЯ ДАЕТ, В ФОРМЕ ВЫШЕУПОМЯНУТЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕРПРЕТАЦИЙ, ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ ЧУТЬЕ. БЕССОЗНАТЕЛЬНО НАШЕ МЫШЛЕНИЕ ДВИЖЕТСЯ ПО ЛИНИИ НАИМЕНЬШЕГО СОПРОТИВЛЕНИЯ. НО ТО, ЧТО МЫ ТЕПЕРЬ ДЕЛАЕМ БЕССОЗНАТЕЛЬНО, В БУДУЩЕМ МОЖЕТ ПОСЛУЖИТЬ ПРЕДМЕТОМ СОЗНАТЕЛЬНОГО НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ И ПОСЛЕ МОЖЕТ ДАТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ, НА ОСНОВАНИИ КОТОРЫХ МЫ БУДЕМ ПРЕДПОЧИТАТЬ ОДИН ПУТЬ ДРУГОМУ, СОЗНАТЕЛЬНО СЧИТАТЬСЯ С ЭКОНОМИЕЙ МЫСЛИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.
ПОЧЕМУ НАМ ТАК ТРУДНО ИДТИ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ЛОГИЧЕСКИМ ПУТЕМ И ПОЧЕМУ МЫ ЧУВСТВУЕМ ТАКОЕ ОБЛЕГЧЕНИЕ, КОГДА ПАРАЛЛЕЛЬНО УМОЗРЕНИЮ РАСКЛАДЫВАЮТСЯ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ОБРАЗЫ?
ОТРЕШАЯСЬ ОТ ИНІУИЦИИ, МЫСЛЬ УПОДОБЛЯЕТСЯ ЧЕЛОВЕКУ, КОТОРЫЙ ДОЛЖЕН ГОВОРИТЬ СО СВЯЗАННЫМИ РУКАМИ И НОГАМИ. СПОСОБНОСТИ ДУШИ ТАК ТЕСНО МЕЖДУ СОБОЙ СВЯЗАНЫ, ЧТО НЕВОЗМОЖНО ПРИВЕСТИ В ДЕЙСТВИЕ ОДНУ, НЕ ЗАТРАГИВАЯ ДРУГОЙ, И, СТЕСНЯЯ ОДНУ, МЫ ПОДВЕРГАЕМ СТЕСНЕНИЮ И ДРУГИЕ.
ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ИХ ВОСПРИИМЧИВОСТИ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЕ НЕ ТОЛЬКО ДЛЯ ПРЕПОДАВАНИЯ, НО ИМЕЕТ И НАУЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.
ЖИЗНЬ КОРОТКА И НАУКА ДОЛЖНА ПОЗАБОТИТЬСЯ О ТОМ, ЧТОБЫ В КРАТЧАЙШЕЕ ВРЕМЯ И ЛЕГЧАЙШИМ ПУТЕМ БЫЛИ УСВОЕНЫ ЕЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ У УЧЕНОГО ХВАТИЛО ВРЕМЕНИ НЕ ТОЛЬКО НА ИЗУЧЕНИЕ СОЧИНЕНИЙ ДРУГИХ, НО И ИА ДВИЖЕНИЕ ВПЕРЕД НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ.
НО ПСИХОЛОГИИ СУЖДЕНО НЕ ТОЛЬКО ИЗЫСКИВАТЬ СРЕДСТВА, ВЕДУЩИЕ К БОЛЬШЕЙ УСВОЯЕМОСТИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ, НО И ПУТИ, ГДЕ, ПРЕДСТАВЛЯЛОСЬ БЫ МЕНЬШЕ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБИТЬСЯ. ПСИХОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК ЖДЕТ ПСИХОЛОГОВ-ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ; ВАЖНЫМ ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ ДАЛЕЕ ОДИН ФАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ, КОТОРЫЙ ДОЛЖЕН ПОСЛУЖИТЬ ОСНОВАНИЕМ ДЛЯ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВЫВОДОВ, ИМЕЮЩИХ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ ПСИХОЛОГИИ НЕ ТОЛЬКО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ, НО И МЫШЛЕНИЯ В БОЛЕЕ ШИРОКОМ СМЫСЛЕ,. ИЗВЕСТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ ПРЕЖДЕ ВСЕГО ДАЮТ ТАКОЙ МАТЕРИАЛ.
ОБЫКНОВЕННО УДОВЛЕТВОРЯЮТСЯ ТОЛЬКО ИХ ОПРОВЕРЛЕЕНИЕМ. НО СЛЕДУЕТ ВЗГЛЯНУТЬ НА НИХ НЕСКОЛЬКО ГЛУБЖЕ И ИССЛЕДОВАТЬ ИХ ПРОИСХОЖДЕНИЕ.
ВОЗЬМЕМ ДЛЯ ПРИМЕРА СЛЕДУЮЩИЙ ИЗВЕСТНЫЙ СОФИЗМ. НА СТОРОНАХ АС, АВ ТУПОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ABC ОПИШЕМ, КАК НА ДИАМЕТРАХ, ПОЛУ- ОКРУЖНОСГИ. ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ D, Е С ТРЕТЬЕЙ СТОРОНОЙ ВС СОЕДИНИМ С А. УГЛЫ ADB И АЕС, КАК ОПИРАЮЩИЕСЯ СТОРОНАМИ НА ДИАМЕТРЫ - ПРЯМЫЕ. ОТКУДА ЗАКЛЮЧАЕМ, ЧТО НА ПРЯМУЮ ВС ИЗ ТОЧКИ А МОЛЕНО ПРОВЕСТИ ДВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРА AD И АЕ.

ИСТОЧНИК ОШИБКИ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ В НЕПРАВИЛЬНОСТИ ЧЕРТЕ- В
ЖА. ЛЕГКО ОБНАРУЖИТЬ, ЧТО ПРЯМАЯ СВ КАК РАЗ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ Q ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОЛУОКРУЖНОСТЕЙ И, КОНЕЧНО, В ЭТОМ СЛУЧАЕ ВСЕ НАШЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО О СУЩЕСТВОВАНИИ ДВУХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ РУШИТСЯ.
ОШИБКА ПРОИЗОШЛА ОТТОГО, ЧТО МЫ УПОТРЕБИЛИ "НЕДОКАЗАННЫЙ" ЧЕРТЕЖ, БЫЛИ СЛИШКОМ ДОВЕРЧИВЫ К ИНТУИЦИИ. ИТУИЦИЯ ДАЕТ НАМ ИДЕАЛЬНЫЕ ТОЧКИ, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ, ДАЕТ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА, НО БОЛЕЕ СЛОЯЕ- НЫЕ ВЗАИМООТНОШЕНИЯ ОНА ОПРЕДЕЛЯЕТ ТОЛЬКО В ОБЩИХ ЧЕРТАХ. ОНА ГОВОРИТ О ПЕРЕСЕЧЕНИИ КРУГОВ ПРЯМОЙ СВ, НО ОНА НИЧЕГО НЕ ГОВОРИТ О ТОМ, ЧТО ЭТО ПЕРЕСЕЧЕНИЕ БУДЕТ ИМЕННО В ТОЧКЕ Q. ДРУГОЙ РОД СОФИЗМОВ ОСНОВЫВАЕТСЯ НА СМЕШЕНИИ ЧИСТО ИНТУИТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ИХ ЧУВСТВЕННЫМИ ОБРАЗАМИ, НАПРИМЕР, В СМЕШЕНИИ ТОЧЕК С ОЧЕНЬ МАЛЫМИ ОТРЕЗКАМИ ИЛИ КРУГАМИ ОЧЕНЬ МАЛЫХ РАДИУСОВ. СЮДА ОТНОСИТСЯ РЯД СОФИЗМОВ, УКАЗЫВАЕМЫХ КЛЕЙНОМ, ГРУБЫМ ПРЕДСТАВИТЕЛЕМ КОТОРЫХ ЯВЛЯЕТСЯ СЛЕДУЮЩИЙ.
ВЗЯВ ПОЛУОКРУЖНОСТЬ ABC РАДИУСА =1, ПОЛУЧИМ ДЛЯ ЕЕ ДЛИНЫ ЗНАЧЕНИЕ = ТІ. ПОСТРОИМ НА ЕЕ РАДИУСАХ КАК НА ДИАМЕТРАХ ДРУГИЕ ДВЕ ПОЛУОКРУЖНОСТИ AC'B,, B.C/D.

ДЛЯ СУММЫ ИХ ДЛИН БУДЕМ ИМЕТЬ ЗНАЧЕНИЕ ОПЯТЬ = Я. ПОСТУПАЯ С ЭТИМИ ПОЛУОКРУЖНОСТЯМИ ТАК, КАК МЫ ПОСТУПАЛИ С АСВ, ПОЛУОКРУЖНОСТИ ДИАМЕТРОВ = '/, АС," В,', АС2" В,, В^'В^, В2'С4 "В, СУММА ДЛИН КОТОРЫХ = %. ПРОДОЛЖАЯ ТАКИМ ОБРАЗОМ ДАЛЬШЕ, ДОКАЗЫВАЕМ, ЧТО ДЛИНА ПОЛУОКРУЖНОСТИ ABC РАВНА ДЛИНЕ КРИВОЙ, ОБРАЗОВАННОЙ ПОЛУОКРУЖНОСТЯМИ, ПОСТРОЕННЫМИ НА ЧАСТЯХ АВ, КАК БЫ МАЛЫ НИ БЫЛИ ЭТИ ЧАСТИ. НО С УМЕНЬШЕНИЕМ ИХ ДИАМЕТРОВ КРИВАЯ ЭТА ПРИБЛИЖАЕТСЯ К ПРЯМОЙ АВ, ОТКУДА ЗАКЛЮЧАЕМ О РАВЕНСТВЕ ДЛИНЫ АСВ (ПОЛУОКРУЖНОСТИ) ДИАМЕТРУ, Т.Е. ПРИХОДИМ К ЯВНО АБСУРДНОМУ РЕЗУЛЬТАТУ.
КОНЕЧНО, ОШИБКА КРОЕТСЯ ^^^ С
В УТВЕРЖДЕНИИ, ЧТО ПРЕДЕЛ ИССЛЕДУЕМОЙ, СОСТАВЛЕННОЙ ИЗ ПОЛУОК-РУЖНОСТЕЙ, КРИВОЙ РАВЕН АВ, КОТОРОЕ ПРЕДПОЛАГАЕТ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ПОЛУОКРУЖНОСТЕЙ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ РАДИУСОВ С ИХ ДИАМЕТРАМИ, БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ ОТРЕЗКАМИ л С В С', d в
АВ. ЭТО ОШИБКА НЕ ЧИСТОЙ ИНТУИЦИИ, А ГРУБОГО ЧУВСТВЕННОГО ОБРАЗА, ИБО ЧИСТАЯ ИНТУИЦИЯ ПРИ УКАЗАННОЙ ВЫШЕ ОПЕРАЦИИ ПРИВОДИТ НАС ВСЕГДА ОТ ПОЛУОКРУЖНОСТЕЙ К ПОЛУОКРУЖНОСТЯМ, НИКОГДА НЕ ДЕЛАЯ СКАЧКА К ОТРЕЗКУ.
ОДНАКО ЧУВСТВЕННЫЙ ОБРАЗ, НАПРИМЕР ТОТ, КОТОРЫЙ МЫ ПОЛУЧАЕМ, ВЫЧЕРЧИВАЯ УПОМЯНУТЫЕ ПОЛУОКРУЖНОСТИ ЧЕРНИЛАМИ, ПОСЛЕ НЕКОТОРОГО ЧИСЛА ОПЕРАЦИЙ ДАЕТ УЖЕ НЕ ПОЛУОКРУЖНОСТЬ, А МАЛЕНЬКОЕ ЧЕРНИЛЬНОЕ ПЯТНО, Т.Е. ТОТ ОБРАЗ, КОТОРЫЙ ОТВЕЧАЕТ БЕСКОНЕЧНО МАЛОМУ ОТРЕЗКУ АВ.
ТАКОЙ ЖЕ ИСТОЧНИК ИМЕЕТ ТОТ НЕПРАВИЛЬНЫЙ ВЗГЛЯД, КОТОРЫЙ РАС-СМАТРИВАЕТ ПРЯМУЮ СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ТОЧЕК. КАК БЫ МЫ НИ ДЕЛИЛИ ПРЯМУЮ, МЫ НИКОГДА НЕ ПОЛУЧИМ ТОЧЕК. ПРЯМАЯ ЯВЛЯЕТСЯ ТОЛЬКО НОСИТЕЛЕМ ТОЧЕК. ОНА НЕИЗМЕННО И ОДНОЗНАЧНО СВЯЗАНА С НЕПРЕРЫВНЫМ РЯДОМ ТОЧЕК ИЛИ ПУНЮУА- ЛОМ, ЕЙ ПРИНАДЛЕЖАЩИМ.
ЕСЛИ ДАН ПУНКТУАЛ, ТО ДАНА И ПРЯМАЯ, И ЕСЛИ ДАНА ПРЯМАЯ, ТО ВМЕСТЕ С ТЕМ ДАН И ПУНКТУАЛ.
ОПРЕДЕЛИТЬ, В ЧЕМ СОСТОИТ ЭТА "ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ" В ЛОГИЧЕСКИХ ТЕР-МИНАХ, КОНЕЧНО, НЕВОЗМОЖНО.
ТАКОГО ЖЕ РОДА ЗАБЛУЖДЕНИЕ - ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ С ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО ОСНОВАНИЯ.
В МЛАДЕНЧЕСКУЮ ЭПОХУ ИСЧИСЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ЭТИ ОШИБКИ ВЫСТУПАЮТ У КАВАЛЬЄРИ В ЕГО "ИСЧИСЛЕНИИ НЕДЕЛИМЫХ". КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БЛИЗКИМИ ПРЯМЫМИ 11ОУ РАЗБИВАЕТСЯ ИМ НА "НЕДЕЛИМЫЕ", НА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТРАПЕЦИИ, ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛА СУММЫ КОТОРЫХ ОН СОВЕРШЕННО ПРАВИЛЬНО ЗАМЕНЯЕТ ИХ ВХОДЯЩИМИ ПРЯМОУГОЛЬНИКАМИ. НО ПОСЛЕДНИЕ ОН УЖЕ СОВЕРШЕННО НЕПРАВИЛЬНО ОТОЖДЕСТВЛЯЕТ С ОТРЕЗКАМИ ПРЯМЫХ І І ОУ И СЧИТАЕТ ЗА ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ НЕДЕЛИМЫХ ПОДСЧЕТ ЭТИХ ОТРЕЗКОВ.
ЭТОГО РОДА ОШИБКИ ЧАЩЕ ВСЕГО ВСТРЕЧАЮТСЯ В РАССУЖДЕНИЯХ ФИЛОСО- ([ЮВ-НЕМАТЕМАТИКОВ, МЕНЕЕ ПРИВЫКШИХ К ЧИСТОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ.
ИНТЕРЕСНЫМ ПСИХОЛОГИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЕМ ЯВЛЯЕТСЯ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК, КОТОРЫЕ ПРОИСХОДЯТ ПРИ САМОМ ПРОЦЕССЕ МЫШ-ЛЕНИЯ. ТАКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ [ЕСТЬ] НЕ ЧТО ИНОЕ, КАК ПОГРЕШНОСТИ ПАМЯТИ ИЛИ ВНИМАНИЯ.
ВОТ СХЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК ДОВОЛЬНО ОБЩЕГО ТИПА.
ОБЪЕМУ А ПРИПИСЫВАЕТСЯ ПРИЗНАК А: ОЗНАЧИМ ЭТО ПОЛОЖЕНИЕ ЧЕРЕЗ (А, А). ВНИМАНИЕ ОТВЛЕКАЕТСЯ ОТ А К В, ЗАТЕМ В ПРИПИСЫВАЕТСЯ ПРИЗНАК Р, ОТВЛЕКАЮТСЯ ОТ В К С, ВСПОМИНАЮТ (В, (3). ОШИБКА СОСТОИТ В ТОМ, ЧТО ВМЕСТО (В, Р) БЕРУТ (В, А).
НО ПОД ЭТОТ ТИП ЕЩЕ НЕ ПОДХОДЯТ ВСЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ. В ОШИБКАХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ МЫ ИМЕЕМ СЛЕДУЮЩИЙ ФАКТ: ПОСЫЛКА (А, ОС) ЗАМЕНЯЕТСЯ ДРУГОЙ, (A, J3), ГДЕ Р НЕ ПРИПИСЫВАЛСЯ ЕЩЕ НИ ОДНОМУ ОБЪЕКТУ, НО ПО СВОЕМУ СХОДСТВУ ИЛИ ПО СМЕЖНОСТИ МОЖЕТ ЛЕГКО СМЕШАТЬСЯ В ПАМЯТИ С А. НАИБОЛЕЕ ЧАСТОЙ И ТРУДНО ИЗБЕГАЕМОЙ ОШИБКОЙ ЯВЛЯЕТСЯ ТА, ПРИ КОТОРОЙ Р ПРЕДСТАВЛЯЕТ БОЛЕЕ ОБЩИЙ СЛУЧАЙ, ЧЕМ А. ПОЛОЖЕНИЕ (А, Р) СПЕРВА УТВЕРЖДАЕТСЯ ПРИ НЕКОТОРЫХ, ЧАСТО ТОЛЬКО ПОДРАЗУМЕВАЕМЫХ УСЛОВИЯХ. ОБ ЭТОМ В ДАЛЬНЕЙШЕМ ХОДЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА СОВЕРШЕННО ЗАБЫВАЕТСЯ И ПОЛОЖЕНИЕ (А, Р) БЕРЕТСЯ ВО ВСЕЙ ЕГО ОБЩНОСТИ.
Я ГОВОРЮ, ЧТО ЭТИ ОШИБКИ В МАТЕМАТИКЕ ВЕСЬМА ЧАСТЫ И ТРУДНО ИЗБЕГАЕМЫ, ТАК КАК, ЕСЛИ БЫ МАТЕМАТИК ВСЯКИЙ РАЗ УПОМИНАЛ ОБ ОГРАНИЧЕНИЯХ, КОТОРЫЕ ДОЛЖНЫ ПОДРАЗУМЕВАТЬСЯ, ОН СДЕЛАЛСЯ БЫ СЛИШКОМ СКУЧНЫМ, И, УТРУЖДАЯ ВНИМАНИЕ ОТКЛОНЕНИЯМИ ОТ ОСНОВНОЙ ТЕМЫ, МОГ БЫ ПРОИГРАТЬ В ЯСНОСТИ. ТАК, МАТЕМАТИКИ ГОВОРЯТ В НЕСКОЛЬКИХ ГЛАВАХ О ФУНКЦИЯХ, ПОДРАЗУМЕВАЯ ИХ НЕПРЕРЫВНЫМИ, ХОТЯ ОБ ЭТОМ ОГРАНИЧЕНИИ УПОМИНАЕТСЯ ТОЛЬКО НА ПЕРВОЙ СТРАНИЦЕ ПЕРВОЙ ГЛАВЫ. О ТОМ, ЧТО ФУНКЦИЯ ПРИНАДЛЕЖИТ К ТИПУ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ИНОГДА НЕ ГОВОРЯТ СОВСЕМ, СЧИТАЯ ТАКОЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ ВПОЛНЕ ЕСТЕСТВЕННЫМ.
ЯСНО, ЧТО ПРЕДПРИНИМАЮЩИЙ ДАЛЬНЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЧИТАТЕЛЬ МОЖЕТ СОВЕРШЕННО ЗАБЫТЬ ОБ ЭТИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ, В ОСОБЕННОСТИ, ЕСЛИ ПРИМЕ-НЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЙ, ГОДНЫХ ТОЛЬКО ПРИ ЭТИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ, НЕ ТОЛЬКО НЕ ПРИВО- ЛИТ ЕГО НИ К КАКИМ ПРОТИВОРЕЧИЯМ, НО ДАЖЕ ОТКРЫВАЕТ НОВОЕ ШИРОКОЕ ПОЛЕ ИССЛЕДОВАНИЙ.
К ЭТИМ ТИПАМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК СЛЕДУЕТ ПРИСОЕДИНИТЬ ЕЩЕ ТРЕТИЙ: ОШИБКИ В ОБОЗНАЧЕНИЯХ.
КАКОЙ-НИБУДЬ ОБЪЕКТ А ОБОЗНАЧАЕТСЯ ЗНАКОМ О, ДРУГОЙ В ЗНАКОМ Ь, ЕСЛИ МЕЖДУ AAB ЕСТЬ СХОДСТВО, ТО ПАМЯТЬ МОЖЕТ СПУТАТЬ И ОТНЕСТИ B К А, А К В. ПРИЧИНА СМЕШЕНИЯ МОЖЕТ БЫТЬ В ВОСПРИЯТИИ: ОДИН ЗНАК МОЖНО ПРИНЯТЬ ЗА ДРУГОЙ. МОЖНО, НАПРИМЕР, ГРЕЧЕСКУЮ БУКВУ А, ПРИНЯТЬ ЗА ЛАТИНСКОЕ Д. В ТО ВРЕМЯ КАК УКАЗАННЫЕ ВЫШЕ ДВА ТИПА ОШИБОК ПРЕДСТАВЛЯЮТ [СОБОЙ] ОШИБКИ ПАМЯТИ, ОШИБКИ ПОСЛЕДНЕГО ТИПА ВО ВТОРОЙ СВОЕЙ ФОРМЕ ПРЕДСТАВЛЯЮТ [СОБОЙ] УЖЕ ОШИБКИ ВНИМАНИЯ.
ВСЕ ЭТИ ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОТНОСЯТСЯ К ТОМУ ПУТИ, ПО КОТОРОМУ движется МЫСЛЬ В ПОИСКАХ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ.
НО ВОЗМОЖНО ДРУГОГО РОДА ИССЛЕДОВАНИЕ. ВОЗМОЖНО СДЕЛАТЬ САМИ УЗЛЫ ЛОГИЧЕСКОЙ СЕТИ, САМИ ПОЛОЖЕНИЯ ПРЕДМЕТОМ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ. ТО, ЧТО ДЕЛАЕТ ВОЗМОЖНЫМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В СМЫСЛЕ УБЕЖДАЕМОСТИ В ТОЙ ИЛИ ДРУГОЙ ИСТИНЕ, ЭТО ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКТ ОЧЕВИДНОСТИ НЕКОТОРЫХ ПОЛОЖЕНИЙ,
ПРИ ЭТОМ ЭТИ ПОЛОЖЕНИЯ ОБЛАДАЮТ РАЗЛИЧНОЙ СТЕПЕНЬЮ ОЧЕВИДНОСТИ. ТАК, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АКСИОМЫ МЕНЕЕ ОЧЕВИДНЫ, ЧЕМ ЧИСТО ЛОГИЧЕСКИЕ, И СРЕДИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ АКСИОМ ЕСТЬ БОЛЕЕ И МЕНЕЕ ОЧЕВИДНЫЕ.
В ВЫСОКОЙ СТЕПЕНИ ИНТЕРЕСНЫМ ЯВЛЯЕТСЯ ТО, ЧТО УСТРАНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ КАК СРЕДСТВА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА КОНГРУЭНТНОСТИ ПРИВОДИТ К ВКЛЮЧЕНИЮ В СИСТЕМУ АКСИОМ ПОЛОЖЕНИЙ, ОБЛАДАЮЩИХ ВЕСЬМА НЕВЫСОКОЙ СТЕПЕНЬЮ ОЧЕВИДНОСТИ В СРАВНЕНИИ С ДРУГИМИ АКСИОМАМИ ТОЙ ЖЕ СИСТЕМЫ.
ТАК, В СИСТЕМЕ АКСИОМ ГИЛЬБЕРТА НАХОДИТСЯ В КАЧЕСТВЕ АКСИОМЫ ПОЛОЖЕНИЕ О КОНГРУЭНТНОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ, ИМЕЮЩИХ РАВНЫЕ УГЛЫ И ПРИЛЕЖАЩИЕ СТОРОНЫ. БЕССПОРНЫМ ЯВЛЯЕТСЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ АКСИОМ ОТ ЛОГИЧЕСКИХ [СВОЙСТВ]. СУЩЕСТВУЮТ ПОЛОЖЕНИЯ ОЧЕВИДНЫЕ, НАПРИМЕР, РАВЕНСТВО ПРЯМЫХ УГЛОВ, КОТОРЫЕ МОГУТ БЫТЬ ДОКАЗАНЫ В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО ОНИ МОГУТ БЫТЬ СВЯЗАНЫ С СИСТЕМОЙ ОЧЕВИДНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ, ПРИНЯТЫХ ЗА АКСИОМЫ. С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ТЕ ПОЛОЖЕНИЯ, КОТОРЫЕ ОБЛАДАЮТ ПОНИЖЕННОЙ СТЕПЕНЬЮ ОЧЕВИДНОСТИ, КАК, НАПРИМЕР, ЗНАМЕНИТАЯ 11-Я АКСИОМА ЕВКЛИДА, ЯВЛЯЮТСЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ОТ БОЛЕЕ ОЧЕВИДНЫХ АКСИОМ.
НО ДОВОЛЬНО О ПСИХОЛОГИИ МАТЕМАТИ КИ. ПСИХОЛОГИИ ПРЕДСТОИТ ДОВОЛЬНО ЗАВОЕВАНИЙ В МАТЕМАТИКЕ, ЕСЛИ ДАЖЕ ОГРАНИЧИТЬСЯ ТОЛЬКО ВЫШЕИЗЛОЖЕННЫМ. ПОСМОТРИМ, КАКОВЫ ЗАВОЕВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ПСИХОЛОГИИ. СКАЖЕМ НЕСКОЛЬКО СЛОВ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПСИХОЛОГИИ. ПРЕЖДЕ ВСЕГО КОСНЕМСЯ ПСИХОФИЗИЧЕСКИХ ФОРМУЛ. ЭТО ЕЩЕ НЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПСИХОЛОГИЯ.
ЭТО СКОРЕЕ ПРЕДДВЕРИЕ ЕЕ. ПСИХОФИЗИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА СВЯЗУЕТ НЕ ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ МЕЖДУ СОБОЙ, А ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ СО СВЯЗАННЫМИ С НИМИ ОПРЕДЕЛЕННЫМ ОБРАЗОМ ФИЗИЧЕСКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ.
ПЕРВАЯ ПСИХОФИЗИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА БЫЛА ПОСТАВЛЕНА МАТЕМАТИКАМИ XVIII СТОЛЕТИЯ В СВЯЗИ С ЗАДАЧЕЙ О БЕЗОБИДНОСТИ ИГР.
ОГРАНИЧИВАЯСЬ ДЛЯ ПРОСТОТЫ СЛУЧАЕМ ДВУХ ИГРОКОВ, МЫ БУДЕМ ИМЕТЬ СЛЕДУЮЩЕЕ УСЛОВИЕ БЕЗОБИДНОСТИ ИГРЫ:
ЕСЛИ Й, Ь СТАВКИ ИГРОКОВ, Р, Q ИХ ВЕРОЯТНОСТИ ПРОИГРАТЬ ПАРТИИ, ТО НЕОБХОДИМО ИМЕТЬ
Р
ЬИЛИAQ~BP = 0
НАЗЫВАЯ AQ + (~Ь)Р, Т.Е. ВЫИГРЫШ, УМНОЖЕННЫЙ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ВЫИГРЫША ПЛЮС ПРОИГРЫШ СО ЗНАКОМ МИНУС, УМНОЖЕННЫЙ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИГРЫША МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЖИДАПИЕМ ИГРОКА, МОЖНО СФОРМУЛИРОВАТЬ УСЛОВИЯ БЕЗОБИДНОСТИ ИГРЫ ЕЩЕ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ ИГРОКОВ РАВНЫ НУЛЮ. В ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ, КОГДА Р = Q, ТО А = Ь. ЭТО УСЛОВИЕ БЕЗОБИДНОСТИ ИГР, СТРОГО НЕ ДОКАЗУЕМОЕ, ПРИВОДИТ В БОЛЬШИНСТВЕ СЛУЧАЕВ К СЛЕДСТВИЯМ, ВПОЛНЕ СОГЛАСНЫМ С УКАЗАНИЯМИ ЗДРАВОГО СМЫСЛА.
НО СУЩЕСТВУЮТ И ТАКИЕ СЛУЧАИ, КОТОРЫЕ ЗАСТАВЛЯЮТ УСОМНИТЬСЯ В ЭТОМ ОСНОВНОМ ПРИНЦИПЕ БЕЗОБИДНОСТИ ИГР.
ЭТО ТЕ СЛУЧАИ, КОГДА ВОЗМОЖНЫЙ ПРОИГРЫШ ОДНОГО ИГРОКА НИЧТОЖЕН В СРАВНЕНИИ С ЕГО СОСТОЯНИЕМ, МЕЖДУ ТЕМ КАК ТОТ ЖЕ ПРОИГРЫШ ПРИВОДИТ ЕГО ПРОТИВНИКА К РАЗОРЕНИЮ.
ВОЗЬМЕМ БОГАЧА С СОСТОЯНИЕМ В I ООО ООО РУБЛЕЙ И БЕДНЯКА С СОСТОЯНИЕМ В 10 РУБЛЕЙ. ЕСЛИ МЫ ЗАСТАВИМ ИХ ИГРАТЬ В ОРЛЯНКУ СО СТАВКОЙ 10 РУБ. ДЛЯ КАЖДОГО, ТО ПРИ РАВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ДЛЯ ОБОИХ УСЛОВИЕ БЕЗОБИДНОСТИ ИГРЫ БУДЕТ СОБЛЮДЕНО, НО ВРЯД ЛИ ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ СОЧТЕТ ТАКУЮ ИГРУ БЕЗОБИДНОЙ. ПО МНЕНИЮ ДАНИИЛА БЕРНУЛЛИ И ДРУГИХ, ПОДОБНАЯ НЕСООБРАЗНОСТЬ ПРОИСТЕКАЕТ ОТ ТОГО, ЧТО ВЫИГРЫШ И ПРОИГРЫШ ОЦЕНИВАЮТСЯ НЕ ЧИСЛОМ ВЫИГРАННЫХ ИЛИ ПРОИГРАННЫХ РУБЛЕЙ, А ТЕМ НРАВСТВЕННЫМ УДОВЛЕТВОРЕНИЕМ А ИЛИ НЕУДОВЛЕТВОРЕНИЕМ (3, КОТОРОЕ МЫ ПОЛУЧАЕМ ОТ ВЫИГРЫША ИЛИ ПРОИГРЫША. ТАКИМ ОБРАЗОМ ПРЕДЛОЖЕНО БЫЛО ВВЕСТИ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОС-ТЕЙ НЕКОТОРЫЙ ПСИХИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ, ЧУВСТВО УДОВОЛЬСТВИЯ ИЛИ НЕУДОВОЛЬСТВИЯ ОТ ПРИОБРЕТАЕМОГО ИЛИ ТЕРЯЕМОГО ФИЗИЧЕСКОГО ИМУЩЕСТВА. ПРИНЦИП БЕЗОБИДНОСТИ ИГР ПРИ ЭТОМ ПОЛУЧАЕТ СЛЕДУЮЩУЮ ПОПРАВКУ: A, B СЛЕДУЕТ ЗАМЕНИТЬ А, Р, AQ-BP СЛЕДУЕТ ЗАМЕНИТЬ Щ- [IP, ТАК НАЗЫВАЕМЫМ НРАВСТВЕННЫМ ОЖИДАНИЕМ. ВХОДЯЩИЕ СЮДА ВЕЛИЧИНЫ А, Р СЛЕДУЕТ ВЫРАЗИТЬ ЧЕРЕЗ А, Ь, Т.Е. СЛЕДУЕТ РЕШИТЬ СЛЕДУЮЩУЮ ПСИХОФИЗИЧЕСКУЮ ЗАДАЧУ:
В КАКОЙ ЗАВИСИМОСТИ НАХОДЯТСЯ НРАВСТВЕННОЕ ИМУЩЕСТВО И ОТВЕЧАЮЩЕЕ ЕМУ ФИЗИЧЕСКОЕ ИМУЩЕСТВО?
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЭТОЙ ЗАДАЧИ БУДЕТ СЛЕДУЮЩЕЙ: ОБОЗНАЧАЯ ЧЕРЕЗ Х ФИЗИЧЕСКОЕ ИМУЩЕСТВО, ЧЕРЕЗ У НРАВСТВЕННОЕ И
ПОЛАГАЯ
У = <Р(Х) НАЙТИ ФУНКЦИЮ <Р.
ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАЕТ НАМ НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ <Р(Х).
НАИБОЛЕЕ ПРОСТОЙ И СОГЛАСНОЙ С ЭТИМИ ДАННЫМИ ЯВЛЯЕТСЯ ФОРМУЛА, ДАННАЯ ДАНИИЛОМ БЕРНУЛЛИ
Х
У = KLG—, ГДЕ К, А - ПОСТОЯННЫЕ.
ЭЙЛЕРУ ПРИНАДЛЕЖИТ ОТКРЫТИЕ ДРУГОГО ПСИХОФИЗИЧЕСКОГО ЗАКОНА, ВЫРАЖАЮЩЕГО ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ВЫСОТОЮ ТОПА И ЧИСЛОМ КОЛЕБАНИЙ, ЕМУ ОТВЕЧАЮЩИМ.
НА ОСНОВАНИИ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ОПЫТА, КОТОРЫЙ УЧИТ, ЧТО МЫ НЕ-ПОСРЕДСТВЕННО ОЩУЩАЕМ ТОЛЬКО ОТНОШЕНИЕ ЧИСЛА КОЛЕБАНИЙ, НО НЕ АБСОЛЮТНЫЕ ИХ РАЗНОСТИ, И ЧТО ОДИНАКОВЫМ ОТНОШЕНИЯМ ЧИСЕЛ КОЛЕБАНИЯ ОТВЕЧАЮТ ОДИНАКОВЫЕ АБСОЛЮТНЫЕ РАЗЛИЧИЯ В ОЩУЩЕНИИ, ЭЙЛЕР ВЫВОДИТ ЛОГАРИФМИЧЕСКУЮ ЗАВИСИМОСТЬ:
У = KLG— А
МЕЖДУ У - ВЫСОТОЙ ТОНА ИХ- ЧИСЛОМ КОЛЕБАНИЙ, ЕМУ СООТВЕТСТВУЮЩИМ. ВЕБЕР УСТАНОВИЛ ПРИ ПОМОЩИ ПСИХОФИЗИОЛОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ АНАЛОГИЧНЫЙ ЗАКОН, ВЫРАЖАЮЩИЙ ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ОЩУЩЕНИЕМ ДАВЛЕНИЯ И ТЯЖЕСТЬЮ, ЕМУ ОТВЕЧАЮЩЕЙ.
ЭТОТ ЗАКОН РАСПРОСТРАНЕН ИССЛЕДОВАНИЯМИ ФЕХНЕРА НА РАЗЛИЧНОГО РОДА ОЩУЩЕНИЯ: ЗРИТЕЛЬНЫЕ, ЗВУКОВЫЕ И ОСЯЗАТЕЛЬНЫЕ. ДЛЯ ВСЕХ РОДОВ ОЩУЩЕНИЙ ИМЕЕТ МЕСТО ЗАКОН ВЕБЕРА-ФЕХИЕРА:
ОЩУЩЕНИЕ ВЫРАЖАЕТСЯ ЛОГАРИФМОМ РАЗДРАЖЕНИЯ.
ФЕХНЕР ВЫСКАЗЫВАЕТ МЫСЛЬ О СУЩЕСТВОВАНИИ УНИВЕРСАЛЬНОГО ОСНОВНОГО ПСИХОФИЗИЧЕСКОГО ЗАКОНА, ОБНИМАЮЩЕГО, КАК ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, УПОМЯНУТЫЕ ЗАКОНЫ ДАНИИЛА БЕРНУЛЛИ, ЭЙЛЕРА, ВЕБЕРА И ФЕХНЕРА, ПО КОТОРОМУ МЕЖДУ ФИЗИЧЕСКИМИ И ТЕЛЕСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ СУЩЕСТВУЕТ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ.
НО ОДНА ПСИХОФИЗИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ИСТОЧНИКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПСИХОЛОГИИ.
ТОЛЬКО УСТАНОВИВ РЯД ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ЗАТОНОВ, ВЫРАЖАЕМЫХ МА-ТЕМАТИЧЕСКИМИ ФОРМУЛАМИ, МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ЦЕПЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ.
ИЗВЕСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПСИХОЛОГИЯ ГЕРБАРТА И НАЧИНАЕТСЯ С УСТАНОВКИ ТАКИХ ЗАКОНОВ. НО ЭТИ ЗАКОНЫ УСТАНАВЛИВАЮТСЯ НЕ ПУТЕМ НАБЛЮДЕНИЙ ИЛИ ИЗМЕРЕНИЙ, А С ПОМОЩЬЮ СПЕКУЛЯТИВНЫХ РАССУЖДЕНИЙ, ПРИ ЭТОМ НЕДОСТАТОЧНО УБЕДИТЕЛЬНЫХ.
ОСНОВАНИЕМ ПСИХИЧЕСКОЙ СТАТИКИ СЛУЖИТ УЧЕНИЕ О СУММАХ ЗАДЕР-ЖЕК ПРЕДСТАВЛЕНИЙ. ГЕРБАРТ РАССМАТРИВАЕТ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КАК ОБЪЕКТЫ, НАХОДЯЩИЕСЯ ВО ВЗАИМОДЕЙСТВИИ, ПРИЧЕМ РАВНОВЕСИЕ, К КОТОРОМУ ПОСЛЕДНЕЕ ПРИВОДИТ, УСТАНАВЛИВАЕТСЯ ПУТЕМ ВЗАИМНОЙ ЗАДЕРЖКИ ИИТЕНСИВНОСТЕЙ У ОБОИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ.
ПРОСТЕЙШИМ СЛУЧАЕМ ЯВЛЯЕТСЯ СЛУЧАЙ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ.
ЕСЛИ ИЗ ДВУХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ А, В НАПРЯЖЕННОСТЕЙ А, Ь (А>Ь) БОЛЕЕ СЛАБОЕ В НЕ РЕАГИРУЕТ НА А, СТРЕМЯЩЕЕСЯ ВЫТЕСНИТЬ В, ТОГДА А УНИЧТОЖИТ В, ЗАДЕРЖАВ ТАКИМ ОБРАЗОМ Ь ИЗ СУММЫ ИХ НАПРЯЖЕННОСТЕЙ. НО В РЕАГИРУЕТ НА А; СУММА ЗАДЕРЖЕК, КОТОРАЯ ДОЛЖНА БЫТЬ РАСПРЕДЕЛЕНА МЕЖДУ А, В, Т.Е. НЕ ТОЛЬКО В, НО И А, ДОЛЖНА ПОТЕРЯТЬ ЧАСТЬ СВОЕЙ НАПРЯЖЕННОСТИ. ЗАДЕРЖКА ДОЛЖНА БЫТЬ РАСПРЕДЕЛЕНА МЕЖДУ А И В, ПРИ ЭТОМ НА БОЛЕЕ СИЛЬНОЕ, В ВИДУ БОЛЬШЕЙ С ЕЕ СТОРОНЫ РЕАКЦИИ, ДОЛЖНА ПАСТЬ МЕНЬШАЯ ЧАСТЬ. ГЕРБАРТ ПРЕДПОЛАГАЕТ, ЧТО ЧАСТИ, НА КОТОРЫЕ ДЕЛИТСЯ ЗАДЕРЖКА, ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ НАПРЯЖЕННОСТЯМ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, ТАК ЧТО ИЗ А БЕРУТСЯ , ИЗ В И
А+Ь А+Ь
А ОСТАЕТСЯ В СОЗНАНИИ С СИЛОЙ
Ъ2 _ „ . AB Ь2 , АДССИЛОИ Ь--
А + Ь А + Ь А + Ь
РАССУЖДЕНИЯ ГЕРБАРТА, ИМЕЮЩИЕ ПО ВНЕШНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР, ИЗЛОЖЕНЫ НЕЯСНО И НЕУБЕДИТЕЛЬНО, В ОСОБЕННОСТИ, ДЛЯ ЧИТАТЕЛЯ-МАТЕМАТИКА. СКАЧОК ОТ ФАКТА, ЧТО ЕСЛИ Х>У, ТО <Р(Х)< <Р(У) К ПРОПОРЦИИ Х:У ~ <Р(*):Ф(;У) НЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ ЕЩЕ СМЕРТЕЛЬНЫМ ДЛЯ ЕГО ТЕОРИИ. НО ГОРАЗДО ХУЖЕ НИЧУТЬ НЕ ОПРАВДЫВАЕМОЕ ОПЫТОМ И, В СУЩНОСТИ ГОВОРЯ, ПРОИЗВОЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ О НЕОБХОДИМОСТИ ЗАДЕРЖКИ = Ь.
УЧЕНИКИ ГЕРБАРТА ЗАМЕНЯЛИ ЭТО ОСНОВНОЕ ДОПУЩЕНИЕ ДРУГИМИ
СТОЛЬ ЖЕ ПРОИЗВОЛЬНЫМИ. ПО ВИТТШТЕЙНУ ОТ А ЗАДЕРЖИВАЕТСЯ , ОТ
А2 А+Ь
ГОРАЗДО БОЛЕЕ УБЕДИТЕЛЬНА ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ПСИХИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ, ИЛИ УЧЕНИЯ О ПОГРУЖЕНИИ ЗАДЕРЖКИ ЗА ПОРОГ СОЗНАНИЯ. ГЕРБАРТ ДАЕТ ФОРМУЛУ ДЛЯ УСИЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРИ ЕГО ВОЗНИКНОВЕНИИ В СОЗНАНИИ, ОТКУДА ВЫВОДИТСЯ ФОРМУЛА ЗАБВЕНИЯ.
ГЕРБАРТ ДОКАЗЫВАЕТ ТО, ЧТО МОЖНО ВПОЛНЕ ПРИЗНАТЬ ЗА ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКТ: УСИЛЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНО НЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНО ВРЕМЕНИ, НО ЧТО ОНО АСИМПТОТИЧЕСКИ ПРИБЛИЖАЕТСЯ К ПОЛНОЙ НАПРЯЖЕННОСТИ ПО СЛЕДУЮЩЕМУ ЗАКОНУ: БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ПРИРАЩЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ, ОТВЕЧАЮЩЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛУ ВРЕМЕНИ, ТЕМ МЕНЬШЕ, ЧЕМ БЛИЖЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ К ПОЛНОЙ ЕГО СИЛЕ, Т.Е. ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНО РАЗНОСТИ МЕЖДУ ПОЛНОЙ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ И НАПРЯЖЕННОСТЬЮ В ДАННЫЙ МОМЕНТ. ЭТО ВЫРАЖАЕТСЯ ФОРМУЛОЙ:
J3(A-X)DT=DX.
УРАВНЕНИЕ ЭТО ДАЕТ: ..
——Е— = PDT
А-Х
ОТКУДА, ИМЕЯ В ВИДУ, ЧТО ПРИ
/ = 0 ... Х = О,
ВЫВОДИТСЯ, ЧТО
Х=А(І-Е"РІ)
ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ФОРМУЛЫ ЗАБЫВАНИЯ НУЖНО ПОЛОЖИТЬ А = 0. НАЧАЛЬНЫЕ ЖЕ ДАННЫЕ: 1 = 0, Х-А, ГДЕ А ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ СИЛА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. В ЭТОМ СЛУЧАЕ ИМЕЕМ:
—PT Х = АЕ
МОЖЕТ БЫТЬ, ВАС ОЧЕНЬ УДИВИТ, ЕСЛИ Я ВСКРОЮ ВАМ В ОДНОЙ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН, ПОЛУЧИВШИХ ПОЛНОЕ ПРАВО ГРАЖДАНСТВА, ПРЕДПОСЫЛКУ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПСИХОЛОГИИ ИЛИ ПСИХОФИЗИКИ.
СРЕДИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН СОВЕРШЕННО ОСОБНЯКОМ СТОИТ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, СОЕДИНЯЯ СТРОГО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД С НЕОЧЕВИДНЫМИ И НЕ ДОПУСКАЮЩИМИ СТРОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ ПРЕДПОСЫЛКАМИ.
В ЕЕ ОСНОВЕ ЛЕЖИТ ОПРЕДЕЛЕНИЕ "ВЕРОЯТНОСТИ". ВЕРОЯТНОСТЬ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ КАК ОТНОШЕНИЕ ЧИСЛА БЛАГОПРИЯТНЫХ СЛУЧАЕВ К ЧИСЛУ ЕДИНСТВЕННО ВОЗМОЖНЫХ. НО, ВО-ПЕРВЫХ, ЭТО ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОДЕРЖИТ ЛОЖНЫЙ КРУГ, ИБО ОНО ГОДНО ТОЛЬКО В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ЭТИ ЕДИНСТВЕННО ВОЗМОЖНЫЕ И БЛАГОПРИЯТНЫЕ СЛУЧАИ РАВНОВОЗМОЖНЫ, Т.Е. ОБЛАДАЮТ ОДИНАКОВОЙ СТЕПЕНЬЮ ВЕРОЯТНОСТИ. А ВО-ВТОРЫХ, НЕКОТОРОЕ, МОЖЕТ БЫТЬ И ТЕМНОЕ ПОНЯТИЕ О ВЕРОЯТНОСТИ МЫ ИМЕЕМ ЕЩЕ ДО УСТАНОВКИ ЭТОГО "МАТЕМАТИЧЕСКОГО" ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ, И МЫ СОЗДАЕМ ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТИ, ИМЕННО ИНТЕРЕСУЯСЬ ВЕРОЯТНОСТЬЮ КАК ИЗВЕСТНЫМ ПОНЯТИЕМ, А НЕ ЧИСЛОМ. УКАЗАННОЕ В ОПРЕДЕЛЕНИИ ЧИСЛО ЕСТЬ ТОЛЬКО "МЕРА ВЕРОЯТНОСТИ".
ВЕРОЯТНОСТЬ - ОТНОШЕНИЕ ЧИСЛА БЛАГОПРИЯТНЫХ СЛУЧАЕВ К ЧИСЛУ ЕДИНСТВЕННО ВОЗМОЖНЫХ - ЭТО НЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ, А ОСНОВНАЯ АКСИОМА ИЛИ, ЛУЧШЕ СКАЗАТЬ, ПОСТУЛАТ. НО ЧТО ТАКОЕ ВЕРОЯТНОСТЬ? ЗДЕСЬ СЛЕДУЕТ ОТМЕ-ТИТЬ ДВЕ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ: СУБЪЕКТИВНУЮ И ОБЪЕКТИВНУЮ, С ПЕРВОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ, ВЕРОЯТНОСТЬ ЭТО МЕРА НАШЕЙ ВЕРЫ В ПОЯВЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО СОБЫТИЯ. ТОГДА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ ГЛАВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПСИХОЛОГИИ.
С ОБЪЕКТИВНОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ, ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЛУЧАЕТ СМЫСЛ ТОЛЬКО В СИЛУ ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ, СОСТОЯЩЕГО В ТОМ, ЧТО ЧЕМ БОЛЬШЕ ПРОИЗВОДИТСЯ ИСПЫТАНИЙ, ТЕМ ОТНОШЕНИЕ ЧИСЛА ИСПЫТАНИЙ, ПРИ КОТОРЫХ СОБЫТИЕ ИМЕЛО МЕСТО, К ЧИСЛУ ВСЕХ ИСПЫТАНИЙ — , БЛИЖЕ К МЕРЕ ВЕРОЯТНОСТИ,
V
Т.Е. ОТНОШЕНИЮ ЧИСЛА БЛАГОПРИЯТНЫХ СЛУЧАЕВ К ЧИСЛУ ЕДИНСТВЕННО ВОЗ- ГА
МОЖНЫХ —.
_ V Этот закон не доказывается математически, он дается опытом или выводится как следствие из стремления природы к разнообразию. Именно только благодаря ему и получает теория вероятностей объективный смысл. В популярных книжках по теории вероятностей этот закон часто смешивается с теоремой Якова Бернулли и изучающем}' кажется, что ма- тематика может чудесным образом из вышеприведенного определения вероятности логическим путем выудить законы мироздания.

Теорема Бернулли вовсе не доказывает этот закон, а только указывает степень вероятности, с какой можно утверждать, что разность р m

между двумя дробями — и — меньше заданного числа.

Но в силу закона больших чисел исчисление вероятностей имеет безусловно объективное значение, если мы имеем в виду заключение относительно частоты повторяемости события при большом числе испытаний.

Какое объективное значение может иметь исчисление вероятности одного события? Данное опытом мы всегда мыслим в категории причинности. Если актуальной причины мы не в состоянии усмотреть и событие относится только вследствие нашего незнания к типу случайных, то, тем не менее, мы мыслим его вероятность, т.е. как его причину мы ищем основания его существования в совокупности не действительных, но возможных событий.

Так как при отсутствии благоприятных случаев такую "причин)'" следовало бы принять равной нулю, а при всех возможных случаях, благоприятствующих событию - бесконечности, то правильнее было бы на-

m

зывать объективной вероятностью не число —> отношение числа бла-

11 ш

гоприятиых случаев к числу единственно возможных, а ~—~ отношение числа благоприятных случаев к числу неблагоприятных.

Но откуда мы можем вывести ту или другую меру для объективной вероятности? Из закона больших чисел это не выводится, ибо он ничего не говорит относительно единичного испытания. Остается только психологи-ческий опыт. Этот последний дает субъективную вероятность, и для оправдания меры объективной вероятности следует сделать переход от первой ко второй. При этом в силу психофизического закона нельзя считать их

равными, они должны быть связаны логарифмической зависимостью.

ш

Если оценить объективную вероятность ——~, то субъективная

будет не и не —, а

n-m п

% Г-^Г'С) (п - ш)а

m

где а - то малое значение , при котором у нас не остается никакой

n-m

веры в наступление события.

Если психологический анализ дает формулу (*) для субъективной

вероятности (*), то объективная оказывается пропорциональной •

Психологический анализ не может доказать формулы (*), но он указыва

ло ет, как в случае, формулы Даниила Бернулли, ряд свойств для этой функции вполне, согласных с теми, которые указываются этой формулой. Так ка к 1

іп2

klg

= к ш+ к2

а и 2а2 п2 m

то при к = а дробь ятности.

будет первым приблгокением для субъективной веро- Лшпература к лекции III Па русском языке:

Обреимов. Софизмы. Изд. Павлеикова.

Д. Мордухай-Болтовской. Психология математического мышления. Вопросы философии и психологии за 1908.

Буняковский. Теория вероятностей.

Гербарг. Психология.

Вундт. Душа человека и животных.

Вундг. Физиологическая психология, Москва. 1880-81. На французском языке:

Delboeuf. Elements de psychophisique. Paris.Germer-Bailliere. 1883.

Klein. Conferences. На немецком языке:

Fechner. Psychophysik. Leipzig. BreitkofF.1889.

Drobicli. Mathematische Psychologie.

Лекция IV. Метафизика и Математика.

В двух областях знания выступает идея бесконечности. В той, которая в силу особой строгости своих рассуждений считается образцом науки и в той где полет фантазии часто становится на место тщетно стремящегося к наиболее близкому сердцу мыслящего человечества неизвестному.

В математике мы говорим о бесконечно большом и бесконечно малом. В метафизике проблема актуальной бесконечности - это тот фокус, к которому сходятся лучи умозрения. На бесконечность можно взглянуть с двух сторон. Прежде всего со стороны конечного, рассматривая тог процесс постоянного возрастания, который ведет нас к бесконечности, никогда не приводя к последней, но известным образом ее характери-зуя. Можно рассматривать бесконечное в становлении, количество способное расти выше всякого предела, про которое можно сказать словами Пуанкаре, что оно, перейдет все границы, но нельзя сказать, что оно их уже перешло1. Одним словом, мояшо изучать бесконечно большие и вместе с тем бесконечно малые величины, и математика дает нам и беско- нечно большие и бесконечно малые в анализе, т.е. в исчислении бесконечно малых.

Но на бесконечность можно взглянуть с противоположной стороны. Можно изучать ее, так сказать, на самом месте, глядя из бесконечности в конечное и изучая его сравнением с последним. Это изучение актуальной бесконечности, бесконечности, уже перешедшей через все границы.

Под анализом разумеют дробление целого на части для его изучения. Трудно познать целое непосредственно: необходимо предварительное разложение его на части более простые и более доступные для изучения, чем это целое. В этом смысле употребляется термин: „химический анализ". Неизвестное сложное вещество д ія изучения разлагается на простей-шие элементы.

В математическом анализе величина дробится иа бесконечно малые элементы, кривая - иа бесконечно малые дуги, площадь - на бесконечно малые площади.

Синтез состоит тогда в соединении элементов в целое. В математическом анализе при определении величины целого за анализом всегда следует синтез, целое дробится на малые части, определяются выражения для последних, после чего остается суммировать эти части, что достига-ется синтезом.

В исчислении бесконечно малых имеет место, как синтез, так и анализ, но первым всегда является анализ и там лежит центр тяжести всего метода, почему исчисление бесконечно малых и получило название „Анализа".

Метод исчисления бесконечно малых скрытым образом содержится в главе элементарной геометрии „Измерение площади круга".

Для определения этой последней, мы вписываем в круг правильный многоугольник и, удваивая число сторон последнего, получаем бесконечный ряд:

S , S , S , S ...

і' VI' 24' -18

площадей таким образом получаемых многоугольников.

Предел членов этого ряда и будет [являться] площадью круга.

Каждая из площадей представляется суммой площадей (і,, (і3.. треугольников Ооф, Оуб... на которые с помощью радиусов, проведенных от вершин многоугольника к центру круга, можно разделить его.

Представим эту методу в такой форме, чтобы резко выступали моменты анализа и синтеза.

1) Разделив окружность на бесконечно великое число частей и соединяя точки деления с цен-тром, круг делится на бесконечно малые секторы.

Можно написать, что S (площадь круга) равна сумме этих секторов и

или, что тоже, 8=1іт^сті5 ибо 1а, приуменьшении с^не меняется.

Круг разбили на сектора, но непосредственное суммирование секторов является невозможным. Необходимо найти такую сумму 2Pi , чтобы предел J]Pi равнялся ^ст, и чтобы в то время, как непосредственно иайти невозможно, lim^p; легко находился бы.

Таким образом изыскивают такие р., чтоііт^р; . Это операция дифференциального исчисления. По основной лемме

Ііт^Рі =lim?a.

p.

если Р , с эквивалентные бесконечно малые т.е. такие, что lim—=1.

В настоящем случае эквивалентны бесконечно малый сектор и вписанный в него треугольник.

Можно доказать, что площадь круга можно рассматривать ие толь-ко как предел площадей вписанных или описанных многоугольников при удвоении числа сторон, но вообще как предел безразлично правильных или неправильных многоугольников при увеличения числа сторон и при уменьшении этих последних. Последнее выражение следует понимать следующим образом:

От многоугольника со сторонами:

„о ftd) „си > 2 >ап<1>

переходим к многоугольнику со сторонами

<х(2) ос<2) а(2)

причем, во-первых n(2) > п<1\ во-вторых наибольшая из величин

/у С) (2) С 2> ("21 —

Uj ...U. /и, наибольшей величииы ИЗ «1 , оцп(2) . а®,а переходим к а^.а^ ...а^з,, где ц(3) )п(3}; а(3)<а(2) ит.д.

Молено сказать, что площадь круга рассматривается, как предел бесконечно великого числа бесконечно малых.

Если а і площадь секторов Оацр, то за можно принять площади треугольников Ооф,

Остается произвести синтез. Найти

Нт?р'.

Это операция интегрального исчисления.?

По идее Кавальєри, задачу об определении площади, ограниченной одной или несколькими кривыми, стараются свести к определению площади так называемой криволинейной трапеции, т.е. площади ACDB, ограниченной

другой кривой CD:

y=f(x)

осью ОХ

двумя прямыми АС и BD 11 OY на расстояниях х=а и х=Ь

ACDB делят на элементы ст, =a|3y5i( разделив АВ на равные части и проведя из 0 . точек деления прямые ау, (35 L ОХ.

Тогда площадь криволинейной трапеции

S^Ecr^limSX

Если мы из точек С... у ... D проведем прямые, параллельные ОХ, то получим ряд сходящих и выходящих прямоугольников, площади которых обозначим через .

Но С7; =а,р-Ст; =ар- hj, обозначая через h; высоту входящего, а

через hj выходящего прямоугольник!,

CTj _ h.

и в пределе, когда число делений АВ бесконечно велико lim— = 1, откуда _ 2± следует эквивалентность ст; иа; .

Но а^ст^С;

откуда будет следовать также и

lim—=1 и ІітДг =1

т.е. (Tuo'j.o'iio'j эквиваленты. Можно написать S=lim?a, или S=lim^ai

т.е. молено рассматривать S, как предел суммы площадей, входящих или выходящих прямоугольников. Вводя символ определенного интеграла

jf(x)dx= lim ]T]f(Xj)(Xj -хн). j=i

можно нгшисать, формулу ь

S=Jf(x)dx

а

Следует подчеркнуть, что идея интегрального исчисления гораздо шире, чем то ее частное осуществление, которое мы имеем в теории пределов этого типа сумм.

Не только само понятие интеграла, но и целый ряд теорем, относящихся к основам интегрального исчисления, могут бьггь рассматриваемы, как

частные случаи более общих. Если интегральное исчисление выбирает ту сум-

ь

му, предел которой представляет Jf(x)dx, то вычисление этого предела при-

а

водится к решению задачи, обратной задаче дифференциального исчисления, т.е. к нахождению функции по ее производной.

От анализа переходим к теории множеств. Каким образом изучаются бесконечные множества? Прежде всего следует заметить, что возможно изучать только такие [множества], для которых можно найти всю совокупность признаков, их вполне определяющих.

Всякое множество задается генетически, т.е. дается способ образования этого множества. Так как множества могут изучаться только с помощью сравнения, исследованием общих и необщих элементов, то для изучаемых множеств выставляется еще другое условие. Множество должно быть таково, что всегда имеется средство определить, принадлежит ли ему данное число или нет. Такое множество называется определенным. Исследуются только определенные множества.

Логическим определением равенства двух конечных целых чисел является однозначное соответствие между единицами. Это свойство может иметь место и для бесконечных множеств. Эквивалентностью (понятием, соответствующим равенству двух конечных множеств) будет однозначное соответствие между элементами этих множеств (т.е. каждому элементу одного множества отвечает один и только один другого и обратно).

Характерное свойство бесконечного множества состоит в том, что оно эквивалентно своей части.

Возьмем для примера бесконечный ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4... п...

Рад 2, 3, 4.... будет составлять его часть. Но эквивалентность обоих множеств очевидна, ибо возможно установить следующее соответствие между элементами

(1.2), (2.3), (3.4)... (я.л +1). Для конечных же множеств, без сомнения, свойство это не может иметь место.

Это характерное свойство обыкновенно и служит математическим определением бесіда нечного множества.

Среди множеств особенное значение имеют так называемые счетные множества. Эти множества эквивалентны ряду натуральных чисел:

I, 2, 3 ... п,

множества, элементы которых могут быть подвергнуты нумеровке, могут быть представлены в форме бесконечного ряда

а,а2, а, ...а...

Такое множество представляет из себя совокупность всех рациональных чисел. Чтобы убедиться в том, что рациональные дроби могут быть в дей-ствительности пронумерованы, следует только посмотреть следующую табличку:

В этой сетке каждый квадратик отвечает дроби, знаменатель которой - номер строки, а числитель - номер столбца. і 2 3 4 1 1 3 б 10 2 2 5 9 3 4 8 А 7 и U- молено

Легко убедиться также, что совокупность всех алгебраических тесел, т.е. чисел, определяемых уравнением:2

= 0,

а , х + а

„х" +а,хп~' +.

где а целые числа, представляет счетное множество.

Этот факт имеет огромное значение в математике, ибо дает возможность простейшим путем доказать существование бесконечного множества трансцендентных чисел.

^з то между каждой парой из этих чисел

Для этого следует только заметить, что, когда дается бесконечный ряд вещественных чисел U,, U2, U3

вставить бесконечное множество чисел.

Располагая в подобный ряд алгебраические числа, что возможно, так как эти числа образуют счетное множество, мы можем найти бесконечное множество чисел не алгебраических, т.е. трансцендентных. Можно получаемый таким образом результат выразить (правда, в грубой и не строгой форме) так: число всевозможных вещественных чисел в бесконечно раз больше числа алгебраических чисел.

Таким образом уже, так сказать, в первой главе теории множеств устанавливается два типа множеств:

Счетное - таково, например, множество, образуемое всей сово-купностью алгебраических чисел.

Continuum - совокупность всех чисел, причем молено считать эквивалентной ему совокупность всех вещественных чисел в конечном промежутке (0, 1).

Предположим, что вселенная бескойечна. Мы получим тогда кос-мологический пример: звезды будут представлять счетное множество, а точки мирового пространства continuum.

Рассмотрим теперь так называемое линейное множество, элементы которого могут быть представлены бесконечным множеством точек прямой. Сгущение этих точек в различных местах будет различно.

Точкой сгущения, или предельной точкой, будет такая, около которой будет бесконечное число точек множества. Исследование множества по точкам сгущения дает прежде всего понятие производного множества, образованного из точек сгущения, и затем понятия о замкнутом и о совершенном множествах. Замкнутое - это [множество], которое содержит свою производную, совершенное [множество] ему тождественно.

Простейшим (первого порядка) будет то множество, для которого нет точек сгущения, т.е. Р'=0.

Затем следует простейшее (простейшие второго порядка) то, для

которого Р"=0 ит.д.

Совокупность элементов, общих двум множествам Р, Q образует наименьший делитель D(P,Q) этих двух множеств. Нетрудно видеть, что производное множество всегда замкнутое, так что

D(P',P") = P" D(P",P"') = P"' ит.д. вообще рМ =D(P',P"...P^...) Среди множеств существуют и такие, что ряд производных может быть бесконечно продолжен. Изучение этого рода множеств и приводит к трансфинитным '[ислам, к установи; теории бесконечных чисел, различающихся между собой, как числа конечные и подвергающиеся некоторым операциям, соответствующим тем, которые производятся над конечными числами.

Для этих множеств

D(P',P"...P(,,)...)

т.е. общий наибольший делитель бесконечного ряда производных можно рассматривать как производную бесконечного порядка

р Н

Каждое из конечных чисел: 1, 2, 3... п, служивших значками Р, можно получить из 1 последовательным прибавлением 1 или с помощью, так называемого, первого принципа образования.

Производное множество может служить также средством различения множеств с Р отличным от 0.

Возьмем последовательные производные от Pto>;

Роо'Роо" ...

Может случиться, что один из членов этого рода нуль, но может случиться, что это не имеет места.

Тогда рассматриваем

(Р 00)00 = D(Poo' ,Роо",..) Уже здесь мы видим необходимость обобщения числа, в рассмотрении бес-конечных чисел, различных между собой, отвечающих Poo, Poo', Роо" и т.д., из которых первое можно обозначить символом со, а другие, получаемые с помощью опять первого принципа: со-Ы, а+2, со+З...

(Роо)оо будет отвечать ш+ш=2со. Переход от конечных чисел 1С (D и от ш к 2ш производится не в силу первого принципа, а совершая, так сказать, скачок (через бесконечность) - в силу второго принципа. В то время как первый принцип дает число, которому предшествует определенное число, второй принцип дает число, предшествующее которому нельзя указать.

Так <И больше всех конечных чисел, а из конечных чисел нельзя указать наибольшее.

Совершенно таким же образом строятся числа

2to,3ffl,4(»,...nfi)...со2, co2+2co...nBcom-l-...nm_]ff) +пт„..сош" ... и т.д. все трансфинитные числа, получаемые первым и вторым принципом, образующие 1-ый класс трансфинитных чисел.

От трансфинитных чисел 1-го класса нетрудно перейти к трансфинитным числам 2-го класса. Первое из них будет число отвечающее общему наибольшему делителю всех Р, отвечающих транс финитным числам 1-го класса. Получается оно с помощью Ш-го принципа и т.д.

Мы видим теперь, каким образом изучение множества приводит нас к актуально-бесконечному числу.

Совершенно в таком же отношении, в каком находится метагео- метрия к гносеологическим предпосылкам, утверждаемым полным или частичным эмпиризмом, теория трансфинитных чисел находится к учению об акіуальной бесконечности. Мы должны повторить, что, если было бы строго доказано, что актуальной бесконечности нет, что міф не бесконечен, что время не бесконечно и т.д., учение о трансфинитных числах ничуть не было бы поколеблено, если только ряд постулатов, лежащих в его основе, представляет систему совместимых положений.

Теория комплексных чисел не приводит к противоречию и представляет один из наиболее плодотворных отделов математического анализа, хотя комплексное число не имеет реального субстрата.

Но изучающему современное учение о математической бесконечности, конечно, трудно удержать свою мысль от полета из области чистой математики в область метафизики. Бесконечность имеет две стороны, одна обращена к математику, другая к философу и, конечно, философски настроенный математик пожелает осмотреть этот предмет со всех сторон.

Спор о реальном существовании актуальной бесконечности - это довольно старый метафизический спор.

Проблема, существует ли бесконечное число или бесконечное пространство, имеет, конечно, огромное космологическое значение, ибо представляется, что решение этой проблемы в отрицательном смысле приводит к необходимости признания конечности вселенной. Самым сильным аргументом против бесконечности вселенной в пространстве и во времени издавна считались неразрешимые парадоксы бесконечности. Невозможность существования актуального бесконечного числа доказывают вскрытием противоречий, якобы в нем заключающихся, таким образом посягают не только иа реальное, но и на математическое, или логическое, существование бесконечности.

Финитисты (т.е. защитники существования исключительно конеч-ных величин) указывают на то, что одновременно представляет ряд абсурдных свойств, оно [есть] куб, квадрат и половина самого себя - оно поэтому оказывается больше или меньше самое себя.

Но легко видеть, что подобные возражения отпадают, если вспомнить, что они основываются на тех свойствах, которые присущи только конечным числам. Квадрат целого числа а1 больше самого а, это верно для а=2, 3, 4... и ничто нас не обязывает признать это верным для а=°о.

Все доводы, за невозможность существования бесконечного числа, - говорит Кантор, - неверны, вследствие того, что они приписывают наперед бесконечному числу все свойства конечных чисел, что представляет уже противоречие, так как если бесконечное число существует, то только при условии обладания свойствами иными, чем конечные числа. Оно должно составлять род нового числа в противоположность конечному. Вводя в математику бесконечные актуальные числа, мы, конечно, должны признать неравные бесконечности, хотя бесконечность и означается одним символом 00.

Мерсенн возражает против существования бесконечной линии на том основании, что она должна была бы содержать бесконечное число аршин и саженей, причем сажень в три раза больше аршина, откуда следовало бы, что одна бесконечность больше другой, чего, говорит Мерсенн, быть не может. Что бесконечности все должны быть равны, Мерсенн и другие выводят из того, что так как бесконечное число наибольшее из всех чисел, то может быть только одно бесконечное число. Но упомянутая выше теория трансфинитных чисел Кантора совершенно иначе смотрит на бесконечное число.

Трансфинитное число со вовсе не наибольшее и не последнее из чисел конечных, наоборот, первое среди чисел бесконечных.

Совершенно верно указывает Кутюра на то, что все аргументы, на-правленные в продолжение нескольких веков против возможности бесконечного зиждятся на следующих двух ошибочных принципах:

Число бесконечное - наибольшее из всех чисел;

Все бесконечные числа равны.

Ошибочность второго принципа сознавал Лейбниц, первого - Кант.

Опровергнуть возражения против актуального бесконечного числа еще не значит доказать реальность этого числа. Это не значит, что этим доказана возможность существования трансфинитного числа небесных тел. Кантор расширяет область вещественных целых чисел, пополняя конечные числа, которым присущи некоторые свойства, например, что целое больше части, другими числами, которым не присуще уже это свойство, которые определяются меньшим числом независимых постулатов. Упомянутые выше опровержения доказывают только то, что эти последние не находятся между собой в противоречии. Но то же можно сделать и для комплексных чисел, но, конечно, было бы опрометчиво выводить отсюда существование совокупности предметов, определяемых комплексным числом.

Судьба трансфинитных чисел вовсе не находится в зависимости от решения, к которому прейдет метафизика относительно актуального бес-конечного числа. Трансфинитное число осталось бы в математике даже в том случае, если бы удалось чудом найти строго математическое доказательство невозможности реальной бесконечности или если бы был вполне строго доказан закон Дюринга: закон определенной численности. По этому закону, число событий, проистекших по настоящей момент - число определенное и ограниченное, несмотря на то, что позади нас лежит целая вечность. Точно так же, число мировых тел в пространстве в данный момент [есть] число определенное и конечное, хотя пространство безгранич-но. Из этого закона Дюринг выводит, что мировой процесс должен иметь абсолютное начало во времени.

Возражения против существования бесконечно большой величины, например, бесконечно большого пространства или времени, обыкновенно основываются на невозможности актуального бесконечного числа, на невозможности бесконечного числа кубических саженей и бесконечного числа лет. При этом предполагается, что всякая величина, как конечная так и бесконечная, характеризуется числом. Но возможна и такая точка зрения, и ее весьма основательно защищает Мильхауд, по которой бесконечной величине нет соответствующего числа. Державин в оде "Бог", находит весьма удачный эпитет бесконечному Богу, говоря, что в нем „числа и меры" нет. Не равенство целого части является характерным признаком беско- 70 нечнои величины, а именно ее неизмеряемость, невозможность определения ее числом.

Существуют и непосредственные выступления против бесконечности, носящие метафизический и гносеологический характер. Следует заметить, что в доказательствах гносеологического типа уже с самого начала обсуждения вопроса о том, существует ли идея бесконечности в нашем уме или нет, противники бесконечности выставляют против себя смертельный аргумент.

Могут ли они говорить о бесконечности, о том существует ли она в нашем разуме или нет, если по их мнению, они не имеют никакой идеи о бесконечности?

В гносеологических возражениях все вертится на том, что един-ственный путь, могущий привести нас к идее бесконечности - это процесс постоянного возрастания.

Идея о бесконечном может получится только через прибавление к пространству, занимаемому нашей солнечной системой, такого же пространства и т.д. Но этим дается только никогда не прекращающийся процесс, и предположение актуальной бесконечности является невозможным, так как влечет за собой предположение законченности этого процесса.

Но бесконечность постигается вне этого процесса.

Вот что говорит Гегель о бесконечности. Рассудок, размышляя во-обще о бесконечности, держится по преимуществу количественного бесконечного процесса. Но эта форма процесса выражает собой не истинную, а дурную бесконечность, которая не превышает понятия „долженствования" и постоянно остается в сфере конечного.

Спиноза называет эту бесконечность мнимой. Поэты, например Гал- лер и Клопшток, нередко пользовались этим представлением, чтобы наглядно изобразить бесконечность природы и самого Бога.

У Галлера мы встречаем знаменитое описание бесконечности Бога, где он говорит: „Я слагаю огромные числа, целые горы миллионов, я нагромождаю время на время и миры на миры, и когда, с этой страшной высоты, отуманенный, я снова возвращаюсь к Тебе, это громадное число умноженное в тысячу раз, не составляет части Тебя". К этому описанию дурной бесконечности Галлер прибавляет прекрасное заключение; „Я откидываю все эти числа и Ты весь передо мной" и в самом деле, истинное бесконечное лежит только за пределами конечного и чтобы привести его к сознанию, необходимо оставить бесконечный процесс.

Возражают, что идея бесконечности предполагала бы бесконечный разум. Но в таком наивном возражении на разум смотрят как на какую-то урну, которая для вмещения бесконечного числа шаров сама должна быть бесконечной.

Помощь актуальной бесконечности идет оттуда, откуда, казалось бы, менее всего ее можно было бы ожидать.

Космология, вырастающая из точного естествознания, имеющая свои корни в астрономии, возвышает свой голос за бесконечность вселенной во времени и в пространстве.

Спор о бесконечности вселенной ведется главным образом на логической и гносеологической почве; аргументы те, о которых мы говорили уже выше - решение проблемы о бесконечности вселенной в положитель-ном или отрицательном смысле, становится в зависимость от того, признается ли актуальная бесконечность свободной от противоречия, познаваема она или нет.

Но против бесконечности вселенной существуют возражения, так сказать, чисто астрономического характера. Упомянем одно из них. Еще в 1826 году знаменитый астроном Ольберс сделал следующее замечание: „Если число тел Вселенной, испускающих тепло и свет бесконечно, то каждая точка пространства должна получить бесконечное число световых и тепловых лучей, и, поэтому, должно быть бесконечно [много] тепла и света". Отсюда делается вывод, что число звезд не бесконечно велико, а конечно. Но при этом остается и другой выход, именно: предположение о поглощаемости световых и тепловых лучей межзвездным пространством.

Кант в споре о бесконечности вселенной занимает, так сказать, нейтральную позицию. Он считает, что два положения:

а) вселенная имеет начало во времени и границы в пространстве и

б) вселенная безначальна и безгранична в пространстве, - представляют так называемые антиномии.

Как первое положение (тезис), так и второе (антитезис) могут быть с равным успехом доказаны в предположении, что мировое целое, т.е. полный ряд явлений, в нем дан. Но как то, так и другое положение должны быть в действительности отвергнуты, поскольку мир сам по себе не существует. Мир, каков он во времени и в пространстве, - это только наше представление; мир как он [существует] в себе, (вещь в себе) недоступен нашему восприятию.

Мир во времени и в пространстве, это только ряд последовательных обзоров явлений. Часть вселенной в пределах нашей солнечной сис-темы - это тоже только продолжение ряда восприятий. Говорить о бесконечном мире, значит признавать возможность беспредельного продолжения того же ряда восприятий.

Говорить о конечном мире, значит указывать границы этому ряду.

Мы не будем исследовать кантовское разрешение антиномий. По нашему мнению, ни тезис, ни антитезис не являются доказанными. Тезис доказывается логически. Кант основывается на невозможности актуального бесконечного числа. Об этого рода доказательствах мы уже говорили.

Но антитезис доказывается отнщдь не чисто логическим путем, а с помощью гносеологических исследований, т.е. учения о субъективности времени и пространства. Литература к лекции IV На русском языке:

Больцано. Парадоксы бесконечного. "Матезис". Одесса.

Дедекинд. Непрерывность и иррациональные числа. Перев. Шатунов- ского. "Матезис". Одесса. 1909.

Васильев. Введение в анализ.

Жегалкин. Трансфинитивные числа. Москва. 1907. На французском языке:

Carnot. Reflexions sur la metliaphisique du calcul infinitesimal. Paris. Gauthier Villars. 1881.

Cauchy, Sept lecons de physique generale.

Conturat. L'infini mathematique (богатая библиография).

Evellin. Infinic etquantite. Gernier Baillere. 1880.

Borel. Theorie des fonctions. Paris. Gauthier Villars. 1898. На немецком языке:

Cohn. Gescliichte des Unendlichkeitsproblems. Leipzig. Engehnaiin. 1896.

H. Cohen. Das princip der Infinitesimal-Methode und seineGeschiclite. Berlin. 1883. (богатая библиография).

Du Bois-Reymond. AUgemeine Functionen theorie.

G. Cantor. Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigskeitslehre (einmathematiscli-philosophischer dersuch in der Lehre des Unendliclien). Leipzig. Teubner. 1883. См. также его статьи в Mathematische Annalen t. V, XV, XVII, XX, XXI, Journal de Crelle: t. LXXXVII, LXXXIV, Acta Matheinatica t.VII.

Geissler. Die Grundsatze und das Wesen des Unendliclien in der Matliematikund Pliilosophie. Leipzig. Teubner. 1902.