Определение 1. Выражение

,

где - заданная бесконечная числовая последовательность, называется числовым рядом.

Определение 2. Конечные суммы , , …, называются частичными суммами ряда.

Определение 3. Если существует предел последовательности частичных сумм , то ряд называется сходящимся, и число называется суммой этого ряда.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Частичная сумма этого ряда .

Для того, чтобы вычислить предел последовательности частичных сумм, разложим общий член данного ряда на простейшие дроби

.

.

. По определению данный ряд сходится и его сумма равна единице.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Частичная сумма этого ряда

.

, такой ряд является расходящимся.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Последовательность частичных сумм: , , , , …

Предел последовательности таких частичных сумм не существует, то есть, данный ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Такой ряд является геометрической прогрессией, сумма которой определяется по формуле

, для .

.

Если , то .

Теорема 1. Отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не влияет на его сходимость, но изменяет сумму ряда.

Доказательство.

Рассмотрим ряды (1)

и

(2).

Обозначим сумму отброшенных членов ряда через , отбрасывает членов, тогда частичная сумма для ряда (1) будет иметь вид , где - частичная сумма ряда (2).

При величина , тогда .

Это означает, что если существует предел , то будет существовать предел . Значит, ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Теорема 2. Если члены сходящегося ряда умножить на одно и тоже постоянное число , то его сходимость не нарушится, а сумма изменится в раз, .

Доказательство.

.

Теорема 3. Два сходящихся ряда и можно почленно складывать или вычитать, при этом сходимость вновь полученного ряда сохранится и его сумма будет равна сумме или разности данных рядов, то есть .

Доказательство.

.

Теорема 4. (критерий Коши).

Для того чтобы числовой ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для , такое, что и выполнялось неравенство

.

Теорема 5. Необходимый признак сходимости числового ряда.

Если ряд сходится, то общий член сходящегося ряда стремится к нулю при значениях , то есть

Доказательство:

Так как, по условию теоремы 1, то значение:

В противном случае ряд расходится.

Это условие не является достаточным.

Покажем, что гармонический ряд расходится, несмотря на то, что

Рассмотрим

Таким образом, критерий Коши не выполняется и гармонический ряд расходится.

Примеры:

1. Исследуйте на сходимость ряд

Ряд расходится, так как для него не выполняется необходимый признак сходимости:

2. Исследуйте на сходимость ряд

Проверим выполнение необходимости признака сравнения:

ряд расходится.