<<
>>

§8 Диффузионные процессы.

8.1. Определение. МПШ называется диффузионным, если выполняются условия:

i) для любого и vравномерно по , где - сфера радиуса ε с центром в точке x, а ;

ii) существуют вектор-функция и оператор

такие, что для любых и равномерно по

(56),

(57),

при этом n–мерная вектор-функция называется вектором сноса, а b(s,x) матрица-функция размера называется матрицей диффузии.

Будем обозначать через i-ую компоненту вектора сноса, а через - элемент матрицы диффузии.

8.2. Условия i), ii) неудобны для проверки, поэтому в данном пункте мы приведем достаточные условия того, что процесс диффузионный. Теорема 11. Для того чтобы n-мерный МПШ был диффузионным достаточно, чтобы соответствующая ему переходная вероятность удовлетворяла условиям:

i) для некоторого , любого x равномерно по t

,

ii) существуют функции и такие, что для всех t, x

Доказательство. Проведем его для случая n=1. Действительно, в этом случае

,

,

.

Отсюда следует утверждение теоремы.

8.3. Теорема 12. Пусть n-мерный диффузионный МПШ, а коэффициенты сноса и диффузии, соответственно, , -непрерывные по совокупности переменных функции. Пусть непрерывная ограниченная функция такая, что имеет непрерывные по совокупности переменных производные , для любых .

Тогда существует производная и удовлетворяет уравнению:

(58) Доказательство. Пусть . Очевидно, что ограниченная функция, поэтому в силу условия i)

(59)

В силу формулы Тейлора, имеем

(60)

где ,

при , причем .

Подставим (60) в (59), имеем:

(61)

где , когда и .

Разделим левую и правую части (61) на , а затем, переходя к пределу и , учитывая при этом непрерывность слагаемых правой части (61) по , получаем уравнение (58).

Покажем, теперь, . Действительно, из равенства

в силу непрерывности функции получаем требуемое равенство. Доказательство закончено.

8.4. Предположим, что у переходной вероятности существует плотность, т.е. существует функция такая, что для . Очевидно, что в этом случае соотношение Чепмена-Колмогорова для будет иметь вид

(62),

где . Покажем теперь, что, если плотность дифференцируема по t и дважды дифференцируема по y, то она удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова. Теорема 13. Пусть условия (54)-(56) выполняются равномерно по x и существуют непрерывные производные , где . Тогда функция удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка -

(63) Доказательство. Пусть дважды дифференцируемая функция, равная нулю вне некоторого компакта. Аналогично доказательству теоремы 12 легко показать, что равномерно по x

В силу условий теоремы и последнего равенства, имеем:

Рассмотрим теперь правую часть последнего равенства и заметим, что равна нулю вне некоторого компакта, тогда в силу формулы интегрирования по частям, имеем

Из последнего равенства, имеем

(64)

Утверждение теоремы следует из (64), в силу произвольности функции f(y).

<< | >>
Источник: Теория случайных процессов. Лекция. 2017

Еще по теме §8 Диффузионные процессы.:

  1. 1.2.1.1 Теория распространения ламинарного фронта пламени
  2. 4.1.4 Влияние степени сжатия на продолжительность процесса сгорания топливно-воздушной смеси
  3. 1.2 Основные факторы, влияющие на качество покрытия
  4. 1.2 Характеристика электромембранного процесса обессоливания  
  5. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников  
  6.   1.1. Параметрическая схема производства сырокопчёных колбас 
  7. Исторический опыт
  8. Лекция 3. Время жизни носителей заряда. Дрейфовое и диффузионное движение носителей заряда
  9. Лекция 4. Электрические процессы в p-n-переходе в отсутствие внешнего напряжения
  10. Лекция 5. Электрические процессы в p-n-переходе при наличии внешнего напряжения
  11. Диффузионно-взвешенные изображения (DWI)
  12. 3.1.6 Диффузионное подобие
  13. §3. Классификация МПШ по свойствам траекторий.
  14. §8 Диффузионные процессы.
  15. §7. Диффузионные процессы и стохастические уравнения.
  16. Процесс смешивания двухкомпонентной смеси в планетарном смесителе
  17. 1.4.Обсуждение имеющихся взглядов по физическим положениям механохимии твердого тела применительно к процессу комбинированного формирования химико-механических покрытий
  18. 4.2.Проектирование технологических процессов для типовых химико­механических высокоресурсных покрытий