§8 Диффузионные процессы.

8.1. Определение. МПШ называется диффузионным, если выполняются условия:

i) для любого и vравномерно по , где - сфера радиуса ε с центром в точке x, а ;

ii) существуют вектор-функция и оператор

такие, что для любых и равномерно по

(56),

(57),

при этом n–мерная вектор-функция называется вектором сноса, а b(s,x) матрица-функция размера называется матрицей диффузии.

Будем обозначать через i-ую компоненту вектора сноса, а через - элемент матрицы диффузии.

8.2. Условия i), ii) неудобны для проверки, поэтому в данном пункте мы приведем достаточные условия того, что процесс диффузионный. Теорема 11. Для того чтобы n-мерный МПШ был диффузионным достаточно, чтобы соответствующая ему переходная вероятность удовлетворяла условиям:

i) для некоторого , любого x равномерно по t

,

ii) существуют функции и такие, что для всех t, x

Доказательство. Проведем его для случая n=1. Действительно, в этом случае

,

,

.

Отсюда следует утверждение теоремы.

8.3. Теорема 12. Пусть n-мерный диффузионный МПШ, а коэффициенты сноса и диффузии, соответственно, , -непрерывные по совокупности переменных функции. Пусть непрерывная ограниченная функция такая, что имеет непрерывные по совокупности переменных производные , для любых .

(58) Доказательство. Пусть . Очевидно, что ограниченная функция, поэтому в силу условия i)

(59)

В силу формулы Тейлора, имеем

(60)

где ,

при , причем .

Подставим (60) в (59), имеем:

(61)

где , когда и .

Разделим левую и правую части (61) на , а затем, переходя к пределу и , учитывая при этом непрерывность слагаемых правой части (61) по , получаем уравнение (58).

Покажем, теперь, . Действительно, из равенства

в силу непрерывности функции получаем требуемое равенство. Доказательство закончено.

8.4. Предположим, что у переходной вероятности существует плотность, т.е. существует функция такая, что для . Очевидно, что в этом случае соотношение Чепмена-Колмогорова для будет иметь вид

(62),

где . Покажем теперь, что, если плотность дифференцируема по t и дважды дифференцируема по y, то она удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова. Теорема 13. Пусть условия (54)-(56) выполняются равномерно по x и существуют непрерывные производные , где . Тогда функция удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка -

(63) Доказательство. Пусть дважды дифференцируемая функция, равная нулю вне некоторого компакта. Аналогично доказательству теоремы 12 легко показать, что равномерно по x

В силу условий теоремы и последнего равенства, имеем:

Рассмотрим теперь правую часть последнего равенства и заметим, что равна нулю вне некоторого компакта, тогда в силу формулы интегрирования по частям, имеем

Из последнего равенства, имеем

(64)

Утверждение теоремы следует из (64), в силу произвольности функции f(y).