§ 1 Основные определения.

1.1. Пусть – измеримое пространство, кроме того, положим, что на выделено семейство алгебр {F_n}_n>0 , обладающих свойствами:

а) для любого ;

б) для любых и ;

в)

Определение.

Определение. Фильтрованным вероятностным пространством или стохастическим базисом называется четверка (,,, Р), где Р – вероятностная мера на фильтрованном измеримом пространстве, причем – пополнена множествами нулевой меры Р.

Замечание. Напомним, – пополнена множествами нулевой меры Р. Пусть любой элемент В, N_p {A F: P(A) = 0} и к В добавим N_p, т.е. . С помощью множеств построим новую алгебру, обозначаемую . Ясно, что содержит - алгебра, её называют пополнением относительно меры Р.

Определение. Будем говорить, что последовательность {со значениями в измеримом пространстве согласована с фильтрацией , если при каждом n она - измерима , т.е.

1.2. Пусть на стохастическом базисе (,,,Р) задана согласованная последовательность {. Введем обозначения: а) F= алгебру, порожденную , б) F=, в) =эту алгебру называют обычно хвостовой.Очевидно, что - - измерима.

1.3. Определение. Последовательность (,)_n>0 называется марковской, если Р - п.

Р(В|) = P(B|), (1)

где .

1.3.1 Замечание. В силу теоремы 11 главы 1 (теоремы Бореля) существуют для борелевские функции , где и такие, что Р - п. н. Р(В|) = , P(B|) = . Поэтому (1) можно переписать в виде Р - п. н.

.

1.4. Определение. Пусть Р: , обозначаемая через P(s,,t,B), s_{0 ,}если Р(s,,t,B)= P) Р - п.

Теорема 1 (Чепмен-Колмогоров). Пусть (,)_t>0 – марковская последовательность, а {Р(s,,t,B)} – соответствующее ей семейство переходных вероятностей. Тогда для любых справедливо равенство

Р(s,,t,B) = . (2)

Доказательство. Пусть , тогда Р -п.н. Р(s,,t,B) = P) = P() = M()=M[M()|]=M[P()|]= =M[PF]=)P

Доказательство закончено.