§ 9. Сходимость по распределению.

9.1. Пусть на (Ω,F,P) задана последовательность случайных элементов со значениями в , где E - польское пространство, т.е.

Определение. Будем говорить, что - последовательность случайных элементов со значениями в E сходится по распределению при к случайному элементу со значениями в E и обозначать , если для любой функции С_b(E), где С_b(E) - пространство непрерывных ограниченных на E функций со значениями в R¹, справедливо () = M().

Определение. Семейство вероятностных мер на называется слабо сходящимся к некоторой мере P₀ и обозначается P_n P₀ , если для любой С_b(E)

= .

Из этих определений вытекает утверждение.

Теорема 35. Пусть - семейство случайных элементов, а соответствующее им семейство распределений , тогда и только тогда, когда P_n P_о , т.е. () = M(), для С_b(E).

9.2.

Определение. Семейство вероятностных мер {P_n}_n>1 называется плотным, если для любого >0 существует компакт E такой, что Р_n( < .

Приведем достаточное условие плотности семейства {P_n}_n>1.

Предложение 36. Если последовательность случайных величин , где >0, равномерно интегрируема, то семейство {P_n}_n>1 плотно.

9.3. Следующее утверждение играет фундаментальную роль в теории слабой сходимости.

Теорема 37 (Прохоров) Пусть {P_n}_n>1 – семейство вероятностных мер на . {P_n}_n>1 – относительно компактно тогда и только тогда, когда оно является плотным. (без доказательства).

9.4. Теорема 38. Справедливы следующие импликации:

1) , 2) ,

3) .

Доказательство этого утверждения можно найти например в [ 1 ].