<<
>>

§ 9. Сходимость по распределению.

9.1. Пусть на (Ω,F,P) задана последовательность случайных элементов со значениями в , где E - польское пространство, т.е.

полное сепарабельное метрическое пространство, а алгебра на E.

Определение. Будем говорить, что - последовательность случайных элементов со значениями в E сходится по распределению при к случайному элементу со значениями в E и обозначать , если для любой функции Сb(E), где Сb(E) - пространство непрерывных ограниченных на E функций со значениями в R1, справедливо () = M().

Определение. Семейство вероятностных мер на называется слабо сходящимся к некоторой мере P0 и обозначается Pn P0 , если для любой Сb(E)

= .

Из этих определений вытекает утверждение.

Теорема 35. Пусть - семейство случайных элементов, а соответствующее им семейство распределений , тогда и только тогда, когда Pn Pо , т.е. () = M(), для Сb(E).

9.2.

Определение. Семейство вероятностных мер {Pn}n>1 на называется относительно компактным, если оно содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой вероятностной мере Р.

Определение. Семейство вероятностных мер {Pn}n>1 называется плотным, если для любого >0 существует компакт E такой, что Рn( < .

Приведем достаточное условие плотности семейства {Pn}n>1.

Предложение 36. Если последовательность случайных величин , где >0, равномерно интегрируема, то семейство {Pn}n>1 плотно.

9.3. Следующее утверждение играет фундаментальную роль в теории слабой сходимости.

Теорема 37 (Прохоров) Пусть {Pn}n>1 – семейство вероятностных мер на . {Pn}n>1 – относительно компактно тогда и только тогда, когда оно является плотным. (без доказательства).

9.4. Теорема 38. Справедливы следующие импликации:

1) , 2) ,

3) .

Доказательство этого утверждения можно найти например в [ 1 ].

<< | >>
Источник: Теория случайных процессов. Лекция. 2017

Еще по теме § 9. Сходимость по распределению.:

  1. 1.1. Обзор способов и методов разработки метрологического обеспечения контроля и диагностирования технического состояния автотранспортных средств.
  2. 1.1.4. Теоретические концепции зонального деформирования и разрушения горных пород в массиве вокруг выработок
  3. 2.3 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
  4. 6.3.2 Аппроксимативное оценивание плотности распределения по методу производных
  5. 4.1. Теоретические основы метода
  6. Моделирование простейшего рынка услуг
  7. Содержание дисциплины
  8. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  9. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  10. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ЗАЧЕТУ, 2 КУРС.
  11. Оглавление Предисловие
  12. Содержание
  13. 8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.
  14. 8.2. Предельные теоремы для характеристических функций.
  15. Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин.
  16. 9.1. Сходимость последовательностей случайных величин.
  17. § 9. Сходимость по распределению.
  18. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБУЧЕНИЯ