<<
>>

§ 8. Сходимость в пространстве Lp.

8.1. Определение. Множество действительных случайных величин таких, что при и , при обозначим через и в этом случае будем писать ,.

Отметим, что при является банаховым пространством относительно нормы: , при , , при .

Из этих определений следует, что : а) , если ; б) - является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения , где .

8.2. Определение. Пусть - последовательность случайных величин такая, что . Будем говорить, что сходится в среднем порядка р к случайной величине , если и использовать обозначение .

В частности, если: 1) р=1 и , то говорят, что сходится к в среднем; 2) р=2 и , то говорят, что сходится к в среднеквадратическом смысле и обозначают ; 3) при р = сходимость называется существенно равномерной.

8.3. Приведем теперь без доказательства критерий Коши сходимости в .

Теорема 30. Пусть последовательность из , .

Следующие утверждения эквивалентны:

1) - сходящаяся в последовательность,

2) при .

8.4. Из результатов §7 следует утверждение.

Теорема 31. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:

1) последовательность - равномерно интегрируема и ;

2) и .

Доказательство этого утверждения следует из неравенства и теоремы 26.

8.5. Из теоремы 31 вытекают следующие утверждения.

Следствие 32. Пусть выполнены условия теоремы 31. Пусть существует мажорирующая Р-п.н. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) ;

2) и .

Следствие 33. 1) Пусть и , тогда .

2) Пусть и , тогда .

8.6. Опишем теперь слабую сходимость в .

Определение. Последовательность с называется слабо сходящейся в к случайной величине с , если для любой ограниченной случайной величины справедливо равенство .

Определение. Последовательность случайных величин называется слабо компактной в , если она содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.

Приведем критерий слабой компактности Данфорда-Петтиса.

Теорема 34. Для того чтобы последовательность случайных величин с была слабо компактной в необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно интегрируема.

<< | >>
Источник: Теория случайных процессов. Лекция. 2017

Еще по теме § 8. Сходимость в пространстве Lp.:

  1. 2.2 Алгоритм обучения нейронной сети для ускоренной сходимости обучения
  2. 2. Понятия и предложения из теории функций и функционального анализа
  3. 2. Элементы нелинейного анализа
  4. 4. Метод Ритца
  5. 9.1. Сходимость последовательностей случайных величин.
  6. § 8. Сходимость в пространстве Lp.
  7. Примеры метрических пространств.
  8. Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства
  9. Сопряженные пространства и слабая сходимость
  10. 1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
  11. 2. Сходимость почти всюду
  12. 3. Сходимость по мере и ее свойства
  13. 1. Линейные пространства. Нормированные пространства. Метрика, порожденная нормой. Ряды в нормированных пространствах. Абсолютная сходимость ряда и полнота нормированного пространства. Факторпространства
  14. 2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.
  15. 3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.
  16. 1. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах. Равносильность непрерывности и ограниченности линейного оператора. Понятие нормы ограниченного оператора. Различные формулы для вычисления норм. Примеры линейных ограниченных операторов.