<<
>>

5. ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

Пусть S - регулярная поверхность класса - её регулярная параметризация. Обозначим

где дискриминант первой квадратичной формы поверхности.

Векторы линейно независимы и образуют базис в пространстве , следовательно, любой вектор можно разложить по этому базису. Выясним компоненты разложения по этому базису частных производных векторов базиса . Формулы, которые при этом будут получены, аналогичны формулам Френе в теории кривых и называются деривационными формулами теории поверхностей.

С и м в о л ы Х р и с т о ф ф е л я.

Предварительно введём в рассмотрение специальные символы. Продифференцируем по соотношение . Получим

(5.1)

В равенстве (5.1) дважды пере обозначим индексы по схеме

(такая операция называется также циклической подстановкой индексов). В результате будем иметь:

(5.2)

(5.3)

Учитывая симметрию скалярного произведения и частных производных сложим равенства (5.1) и (5.2), из их суммы вычтем (5.3), а результат умножим на .

В итоге получим

(5.4)

Для величины в правой части введём обозначение

(5.5)

Числа называют символами Христоффеля первого рода. Отметим, что

(5.6)

Из (5.4) непосредственно следует соотношение

(5.7)

дающее выражение частных производных метрического тензора через символы Христоффеля первого рода.

Величины

(правило Эйнштейна!) (5.8)

называют символами Христоффеля второго рода. Отметим, что из (5.6) непосредственно следуют соотношения

(5.9)

а из (5.8)

(5.10)

Символы Христоффеля - не тензоры (докажите!), однако к ним применяются тензорные операции поднятия и опускания индекса (5.8) и (5.10).

Непосредственно из определения следует, что символы Христоффеля зависят только от метрики поверхности и её параметризации.

Ф о р м у л ы Г а у с с а – В е й н г а р т е н а.

Разложим вектор по базису , пока с неопределенными коэффициентами:

(5.11)

Умножим (5.11) скалярно на . Так как получим .

Умножим теперь (5.11) скалярно на :

или

Свернём обе части последнего равенства с по индексу

Таким образом, формулы (5.11) приобретают вид

(5.12)

Соотношения (5.12) называют формулами Гаусса.

Обозначим и разложим вектор по базису пока с неопределёнными коэффициентами:

(5.13)

В (5.13) компонента по отсутствует, так как дифференцированием по равенства получаем, то есть и принадлежит касательной плоскости поверхности.

Умножим (5.13) скалярно на :

или, с учётом (4.2),

(5.14)

Свернем обе части равенства (5.14) с по индексу k,

или

Окончательно формулы (5.1З) принимают вид:

, или (5.15)

Соотношения (5.15) называют формулами Вейнгартена.

<< | >>
Источник: С.Б.КЛИМЕНТОВ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 1988

Еще по теме 5. ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ: