6. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Первая и вторая квадратичные формы поверхности не независимы. В этом параграфе будет получена связь между их коэффициентами. Предполагаем, что рассматривается регулярная поверхность S класса 
с регулярной параметризацией 
.
Вычислим третьи частные производные радиуса - вектора поверхности, исходя из формул Гаусса (5.12):
Выразив вторые производные радиуса - вектора и первые производные нормали по формулам Гаусса - Вейнгартена, будем иметь
Аналогично
Так как поверхность S класса , порядок дифференцирования радиуса - вектора не важен, поэтому
(6.1)
Равенство векторов (6.1) влечёт равенство их составляющих по векторам базиса 
,
,
. Приравняем составляющие 
и 
по 
Свернём по 
обе части этого равенства с 
Для преобразования частных производных метрического тензора воспользуемся равенствами (5.7):
Окончательно
Существенное равенство даёт комбинация значений 
.
(6.2)
Соотношение (6.2) называют уравнением Гаусса. Из формулы
и (6.2) получаем следующую формулу для гауссовой кривизны
6.3)
Из (6.3) следует.
Т е о р е м а (Г а у с с а). Гауссова кривизна поверхности выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные до второго порядка.
Теперь приравняем составляющие и по 
.
Наборы значений индексов 
и 
дают существенные равенства. Остальные наборы значений дают либо тождество 0=0, либо уже имеющиеся равенства:
(6.4)
Равенства (6.4) называют уравнениями Петерсона - Кодацци.
Мы доказали, что если 
и 
- первый и второй основные тензоры регулярной поверхности класса, 
то их компоненты необходимо связаны соотношениями (6.2) и (6.4). Оказывается, эти соотношения являются и достаточными условиями того, чтобы тензоры и были первым и вторым основными тензорами поверхности.
О с н о в н а я т е о р е м а т е о р и и п о в е р х н о с т е й.
Для формулировки нам нужно ещё одно определение. Симметрический тензор 
называется положительно определённым, если положительно определена квадратичная форма 
.
Т е о р е м а. Пусть в односвязной области D -плоскости задан положительно определённый тензор 
и симметрический тензор, 
удовлетворяющие уравнениям Гаусса-Петерсона-Кодацци.
Тогда в пространстве 
существует единственная с точностью до движения регулярная поверхность 
, параметризованная в области D, у которой и - первый и второй основные тензоры.
Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса.
Еще по теме 6. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ:
- Вывод уравнения кривой, описываемой вектором необыкновенной волны на выходной поверхности плоскопараллельного элемента из одноосного кристалла при вращении падающего под постоянным углом на входную поверхность луча вокруг нормали
- 6.7. Характерные скорости молекул. Основное уравнение кинетической теории
- Уравнение поверхности в пространстве.
- Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
- 4.Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
- 6.Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
- Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
- 2. Сведения из теории эволюционных уравнений и разностных схем
- Классификация основных типов уравнений математической физики.
- з. Основные уравнения и задачи математической физики
- Основные понятия дифференциального уравнения
- § 56. Дифференциальные уравнения первого порядка.Основные понятия
- Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения.
- 16.Основные теории психического развития человека (психоаналитические, поведенческие, теории интеллектуального и морального развития).
- Общие уравнения и основные геометрические соотношения
- Уравнение количественной теории денег. Эмиссия денег и ее последствия.
- Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
- I. Два основных источника методов решения уравнений.(ХП век).
- 13. Основные понятия математической физики. Классификация линейных уравнений с часными производными второго порядка относительно функции двух переменных.