6. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Первая и вторая квадратичные формы поверхности не независимы. В этом параграфе будет получена связь между их коэффициентами. Предполагаем, что рассматривается регулярная поверхность S класса с регулярной параметризацией .

Вычислим третьи частные производные радиуса - вектора поверхности, исходя из формул Гаусса (5.12):

Выразив вторые производные радиуса - вектора и первые производные нормали по формулам Гаусса - Вейнгартена, будем иметь

Аналогично

Так как поверхность S класса , порядок дифференцирования радиуса - вектора не важен, поэтому

(6.1)

Равенство векторов (6.1) влечёт равенство их составляющих по векторам базиса ,,. Приравняем составляющие и по

Свернём по обе части этого равенства с

Для преобразования частных производных метрического тензора воспользуемся равенствами (5.7):

Окончательно

Существенное равенство даёт комбинация значений .

(6.2)

Соотношение (6.2) называют уравнением Гаусса. Из формулы

и (6.2) получаем следующую формулу для гауссовой кривизны

6.3)

Из (6.3) следует.

Т е о р е м а (Г а у с с а). Гауссова кривизна поверхности выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные до второго порядка.

Теперь приравняем составляющие и по

.

Наборы значений индексов и дают существенные равенства. Остальные наборы значений дают либо тождество 0=0, либо уже имеющиеся равенства:

(6.4)

Равенства (6.4) называют уравнениями Петерсона - Кодацци.

Мы доказали, что если и - первый и второй основные тензоры регулярной поверхности класса, то их компоненты необходимо связаны соотношениями (6.2) и (6.4). Оказывается, эти соотношения являются и достаточными условиями того, чтобы тензоры и были первым и вторым основными тензорами поверхности.

О с н о в н а я т е о р е м а т е о р и и п о в е р х н о с т е й.

Для формулировки нам нужно ещё одно определение. Симметрический тензор называется положительно определённым, если положительно определена квадратичная форма .

Т е о р е м а. Пусть в односвязной области D -плоскости задан положительно определённый тензор и симметрический тензор, удовлетворяющие уравнениям Гаусса-Петерсона-Кодацци.

Тогда в пространстве существует единственная с точностью до движения регулярная поверхность , параметризованная в области D, у которой и - первый и второй основные тензоры.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса.