5о. Критерий произведений.

e_ir: = e_ij

Правило выбора в этом случае формулируется так :

Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки.

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами :

1) вероятности появления состояния F_j неизвестны;

2) с появлением каждого из состояний F_j по отдельности необходимо считаться;

3) критерий применим и при малом числе реализаций решения;

4) некоторый риск допускается.

Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все e_ij положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг e_ij + а с некоторой константой а > ïe_ijï. Результат при этом будет, естественно зависеть от а. На практике чаще всего

а := ïe_ijï+1.

Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то критерий произведений не применим.

5^о. Пример.

Рассмотрим тот же пример (табл. 1).

Построение оптимального решения для матрицы решений о проверках по критерию Гурвица имеет вид (при С =0.5, в 10³):

			Сeij	(1-С)eij	eir	eir
-20.0	-22.0	-25.0	-12.5	-10.0	-22.5
-14.0	-23.0	-31.0	-15.5	-7.0	-22.5
0	-24.0	-40.0	-20.0	0	-20.0	-20.0

В данном примере у решения имеется поворотная точка относительно весового множителя С : до С = 0.57 в качестве оптимального выбирается Е₃, а при больших значениях – Е₁.

Применение критерия Ходжа-Лемана (q = 0.33, n = 0.5, в 10³) :

	eij	n	(1-n)eij	eir	eir
-22.33	-25.0	-11.17	-12.5	-23.67	-23.67
-22.67	-31.0	-11.34	-15.5	-26.84
-21.33	-40.0	-10.67	-20.0	-30.76

Критерий Ходжа-Лемана рекомендует вариант Е₁ (полная проверка) – так же как и ММ-критерий. Смена рекомендуемого варианта происходит только при n = 0.94. Поэтому равномерное распределение состояний рассматриваемой машины должно распознаваться с очень высокой вероятностью, чтобы его можно было выбрать по большему математическому ожиданию. При этом число реализаций решения всегда остаётся произвольным.

Критерий Гермейера при q_j = 0.33 даёт следующий результат (в ):

						eir =eijqj	eir
-20.0	-22.0	-25.0	-6.67	-7.33	-8.33	-8.33	-8.33
-14.0	-23.0	-31.0	-4.67	-7.67	-10.33	-10.33
0	-24.0	-40.0	0	-8.0	-13.33	-13.33

В качестве оптимального выбирается вариант Е₁. Сравнение вариантов с помощью величин e_ir показывает, что способ действия критерия Гермейера является даже более гибким, чем у ММ-критерия.

В таблице, приведенной ниже, решение выбирается в соответствии с BL(MM)-критерием при q₁=q₂=q₃=¹/₂ (данные в 10³).

-20.0	-22.0	-25.0	-23.33	0	-20.0	0
-14.0	-23.0	-31.0	-22.67	+6.0	-14.0	+6.0
0	-24.0	-40.0	-21.33	+15.0	0	+20.0

Вариант Е₃ (отказ от проверки) принимается этим критерием только тогда, когда риск приближается к . В противном случае оптимальным оказывается Е₁. Во многих технических и хозяйственных задачах допустимый риск бывает намного ниже, составляя обычно только незначительный процент от общих затрат. В подобных случаях бывает особенно ценно, если неточное значение распределения вероятностей сказывается не очень сильно. Если при этом оказывается невозможным установить допустимый риск заранее, не зависимо от принимаемого решения, то помочь может вычисление ожидаемого риска . Тогда становится возможным подумать, оправдан ли подобный риск. Такое исследование обычно дается легче.

Результаты применения критерия произведения при а = 41?10³ и а = 200?10³ имеют вид :

				eir =eij	eir
	+21	+19	+16	6384	6384
а=41	+27	+18	+10	4860
	+41	+17	+1	697
	+180	+178	+175	5607
а=200	+186	+177	+169	5563
	+200	+176	+160	5632	5632

Условие e_ij > 0 для данной матрицы не выполнимо.

Для а = 41?10³ оптимальным оказывается вариант Е₁, а для а = 200?10³ – вариант Е₃, так что зависимость оптимального варианта от а очевидна.