7.2.3 Критерий Стьюдента (t-критерий)
Сравнение средних значений
При сравнении средних значений рассматривают совместно доверительные интервалы двух статистических совокупностей. Для оценки доверительного интервала используют t-критерий [5, 9].
Пусть имеется две статистические выборки: х - с параметрами 
и Sх, полученные при пх измерений и у - с параметрами 
и Sу при пу измерений. Распределения х и у близки к нормальным. Нулевая гипотеза состоит в предположении, что математические ожидания μх и μу равны, то есть μх - μу = 0.
Если дисперсии 
и 
отличаются незначительно, рассчитывают средневзвешенное двух дисперсий и параметр t:
; (7.12)
. (7.13)
Число степеней свободы:
. (7.14)
Если 
, различие между и значимое.
Пример 7.1. При испытании двух блоков были получены такие результаты по зольности угольных концентратов (табл. 7.1).
Таблица 7.1 - Результаты испытания блоков
| п | І блок | ІІ блок | ||||
| хі | хі - | (хі -)2 | уі | уі - | (уі -)2 | |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 | 7,10 7,05 7,20 7,15 7,30 7,15 7,10 - | - 0,06 - 0,10 0,05 - 0,15 - - 0,05 - | 0,0025 0,0100 0,0025 - 0,0225 - 0,0025 - | 6,95 6,80 7,05 7,00 6,90 6,70 6,85 6,95 | 0,05 - 0,10 0,15 0,10 - - 0,20 - 0,05 0,05 | 0,0025 0,0100 0,0225 0,0100 - 0,0400 0,0025 0,0025 |
| Σ | 50,05 | - | 0,0400 | 55,20 | - | 0,0900 |
| Среднее | 7,15 | - | - | 6,90 | - | - |
Выполняем расчёт следующих параметров:
* Выборочные дисперсии блоков I и II:
;
.
* Средневзвешенная двух дисперсий:
.
* Критерий Стьюдента
.
При 
по таблице значений критерия Стьюдента (приложение 1) находим 
= 2,16.
Таким образом, полученное значение параметра t больше табличного и, соответственно, различие между зольностью в блоках нужно считать значимым.
Сравнение сопряжённых пар
Работу двух аппаратов или два технологических режима часто приходится сравнивать в очень изменяющихся условиях, например при изменении качества полезного ископаемого, температуры пульпы и т. п. Попарное сравнение позволяет исключить вариацию, связанную с влиянием других факторов.
При этом оценивается не различие средних - , а разница пар наблюдений 
. Вариационный ряд Δ рассматривается как самостоятельный со средним 
, дисперсией 
и числом степеней свободы 
, где n - число сопряжённых пар наблюдений. Тогда рассчитывают дисперсию и критерий Стьюдента:
; (7.15)
. (7.16)
Если 
, различие считают значимым, и наоборот.
Пример 7.2. Сравнивались два режима флотации угольных шламов. При равных условиях по исходному сырью получены концентраты с зольностью, приведенной в табл. 7.2.
Выполняем расчёт следующих параметров:
* Выборочная дисперсия вариационного ряда :
.
* Критерий Стьюдента:
.
Таблица 7.2 - Результаты опробования режимов флотации
| п | хі | уі | Δі = хі – уі | Δі – | (Δі – )2 |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | 10,1 9,8 11,0 11,3 10,5 9,2 10,8 10,6 10,4 11,3 | 9,3 9,1 9,5 9,8 10,0 9,0 10,2 9,6 9,7 9,8 | 0,8 0,7 0,5 0,5 0,5 0,2 0,6 1,0 0,7 1,5 | 0,1 - - 0,2 - 0,2 - 0,2 - 0,5 - 0,1 0,3 - 0,8 | 0,01 - 0,04 0,04 0,04 0,25 0,01 0,09 - 0,64 |
| Σ | 105,0 | 96,0 | 7,0 | - | 1,12 |
| Среднее | 10,5 | 9,6 | 0,7 | - | - |
При 
по таблице значений критерия Стьюдента (Приложение 1) находим 
= 3,25.
Таким образом, полученное значение параметра t больше табличного и, соответственно, различие следует считать значимым.