7.2.3 Критерий Стьюдента (t-критерий)

Сравнение средних значений

При сравнении средних значений рассматривают совместно доверительные интервалы двух статистических совокупностей. Для оценки доверительного интервала используют t-критерий [5, 9].

Пусть имеется две статистические выборки: х - с параметрами и S_х, полученные при п_х измерений и у - с параметрами и S_у при п_у измерений. Распределения х и у близки к нормальным. Нулевая гипотеза состоит в предположении, что математические ожидания μ_х и μ_у равны, то есть μ_х - μ_у = 0.

Если дисперсии и отличаются незначительно, рассчитывают средневзвешенное двух дисперсий и параметр t:

; (7.12)

. (7.13)

Число степеней свободы:

. (7.14)

Если , различие между и значимое.

Пример 7.1. При испытании двух блоков были получены такие результаты по зольности угольных концентратов (табл. 7.1).

Таблица 7.1 - Результаты испытания блоков

п	І блок			ІІ блок
	хі	хі -	(хі -)2	уі	уі -	(уі -)2
1 2 3 4 5 6 7 8	7,10 7,05 7,20 7,15 7,30 7,15 7,10 -	- 0,06 - 0,10 0,05 - 0,15 - - 0,05 -	0,0025 0,0100 0,0025 - 0,0225 - 0,0025 -	6,95 6,80 7,05 7,00 6,90 6,70 6,85 6,95	0,05 - 0,10 0,15 0,10 - - 0,20 - 0,05 0,05	0,0025 0,0100 0,0225 0,0100 - 0,0400 0,0025 0,0025
Σ	50,05	-	0,0400	55,20	-	0,0900
Среднее	7,15	-	-	6,90	-	-

Выполняем расчёт следующих параметров:

* Выборочные дисперсии блоков I и II:

;

.

* Средневзвешенная двух дисперсий:

.

* Критерий Стьюдента

.

При по таблице значений критерия Стьюдента (приложение 1) находим = 2,16.

Таким образом, полученное значение параметра t больше табличного и, соответственно, различие между зольностью в блоках нужно считать значимым.

Сравнение сопряжённых пар

Работу двух аппаратов или два технологических режима часто приходится сравнивать в очень изменяющихся условиях, например при изменении качества полезного ископаемого, температуры пульпы и т. п. Попарное сравнение позволяет исключить вариацию, связанную с влиянием других факторов.

При этом оценивается не различие средних - , а разница пар наблюдений . Вариационный ряд Δ рассматривается как самостоятельный со средним , дисперсией и числом степеней свободы , где n - число сопряжённых пар наблюдений. Тогда рассчитывают дисперсию и критерий Стьюдента:

; (7.15)

. (7.16)

Если , различие считают значимым, и наоборот.

Пример 7.2. Сравнивались два режима флотации угольных шламов. При равных условиях по исходному сырью получены концентраты с зольностью, приведенной в табл. 7.2.

Выполняем расчёт следующих параметров:

* Выборочная дисперсия вариационного ряда :

.

* Критерий Стьюдента:

.

Таблица 7.2 - Результаты опробования режимов флотации

п	хі	уі	Δі = хі – уі	Δі –	(Δі – )2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	10,1 9,8 11,0 11,3 10,5 9,2 10,8 10,6 10,4 11,3	9,3 9,1 9,5 9,8 10,0 9,0 10,2 9,6 9,7 9,8	0,8 0,7 0,5 0,5 0,5 0,2 0,6 1,0 0,7 1,5	0,1 - - 0,2 - 0,2 - 0,2 - 0,5 - 0,1 0,3 - 0,8	0,01 - 0,04 0,04 0,04 0,25 0,01 0,09 - 0,64
Σ	105,0	96,0	7,0	-	1,12
Среднее	10,5	9,6	0,7	-	-

При по таблице значений критерия Стьюдента (Приложение 1) находим = 3,25.

Таким образом, полученное значение параметра t больше табличного и, соответственно, различие следует считать значимым.