7.2.5 Критерий Фишера (F-критерий)

Парное сравнение дисперсий

Две выборочные совокупности могут не различаться значимо по своему среднему значению, но различаться по стандартным отклонениям (или дисперсиями). Задача сравнения дисперсий возникает при сравнении точности различных приборов или методов измерения, а также в рассмотренных выше применениях t-критерия, когда приходится предварительно проверять равенство дисперсий [5, 11].

Если разница лежит в пределах возможных случайных колебаний, то оба распределения относятся к одной и той же генеральной совокупности. Нулевая гипотеза состоит в предположении, что . Для решения вопроса о случайном или неслучайном различии дисперсий рассматривают отношение большей эмпирической дисперсии к меньшей:

. (7.20)

Затем задают желаемую надёжность вывода Р = 0,95 или Р = 0,99 и по таблице (приложение 2) критическое значение отношения F, соответствующее данным числам степеней свободы f₁ и f₂ (число степеней свободы f₁ относится к большей эмпирической дисперсии). Если отношение (7.20), рассчитанное по результатам исследований, будет больше критического значения, то различие дисперсий считают неслучайным (значимым) с надёжностью Р.

Пример 7.4. При определении содержания меди в концентрате использованы два метода анализа. Первым методом анализа выполнено 5 измерений, вторым - 8. Результаты исследования методов анализа приведены в табл. 7.4.

Таблица 7.4 - Результаты исследования методов анализа

п	І анализ			ІІ анализ
	хі	хі -	(хі -)2	уі	уі -	(уі -)2
1 2 3 4 5 6 7 8	27,5 27,0 27,3 27,6 27,8 - - -	0,04 - 0,44 - 0,14 0,16 0,36 - - -	0,0016 0,1936 0,0196 0,0256 0,1296 - - -	27,9 26,5 27,2 26,5 27,0 27,4 27,3 26,8	0,85 - 0,55 0,15 - 0,55 - 0,05 0,35 0,25 0,25	0,7225 0,3025 0,0225 0,3025 0,0025 0,1225 0,0625 0,0625
Σ	137,2	-	0,3700	216,4	-	1,6000
Среднее	27,44	-	-	27,05	-	-

Нулевая гипотеза состоит в предположении, что между методами анализа нет различия в отношении воспроизводимости стабильности анализов.

Выполняем расчёт следующих параметров:

* Выборочные дисперсии I и II:

;

.

* Отношение большей эмпирической дисперсии к меньшей:

.

При и по таблице значений критерия Фишера (приложение 2) находим F _{(0,95, 4, 7)} = 6,09.

Таким образом, полученное значение параметра F меньше табличного и, соответственно, предположение, что между методами анализа нет различия в отношении воспроизводимости стабильности анализов, не опровергается.