5.2. F-критерий Фишера (для сравнения дисперсий)

установления сходства-различия дисперсий в двух независимых выборках (D1oD2);

установления отличия от нуля коэффициента детерминации (г[ о"О");

установления наличия-отсутствия влияния фактора в дисперсионном анализе.

Случай 1

Эмпирическое значение F-критерия для сравнения двух дисперсий в независимых выборках находят по очень простой формуле:

А

fT2

F = D

где D1 - большая дисперсия, D2 - меньшая дисперсия [Подстановка в числитель большей дисперсии необходима для использования таблиц критических значений, в которых приводится только правое критическое значение (больше единицы).

Количество степеней свободы определяется отдельно для числителя и отдельно для знаменателя:

^ЧИСЛ ПЧИСЛ-1

DFЗНАМ ПЗЫЯМ -1

Пример 5.3.Две группы испытуемых обучались некоторым моторным навыкам по двум разным методикам, фиксировалось количество ошибочных действий, до обучения результаты в обеих группах имели одинаковый разброс. Какая из методик даст наибольшее выравнивание результатов внутри группы после обучения (табл.5.3.).

Таблица 5.3.

Числовые характеристики 1-я группа 2-я группа п 21 16 <т 4 6 D 16 36 Подставляя в формулу получим: F3Mn= 36/16 = 2,25. ё?шсл= 16-1 = 15

dfзнaм =21-1 = 20

Поскольку нам заранее не известно, какая из методик может обладать меньшей дисперсией, мы используем ненаправленную гипотезу и, следовательно, двусторонний критерий. Находим по таблице 3 (Приложение) критическое значение F^ для а = 0,05 (а/2+а/2 = 0,05) и

^числ 15, dfзнaм 20, -^рит 2,573

Получим: Fзмп=2,25ZFKрит=2,573

Вывод: Так как эмпирическое значение меньше критического, то статистически значимых различий дисперсий в первой и второй группах нет и, следовательно, стабилизация навыка при обучении по обеим методикам одинакова.

Замечание. Для сравнения дисперсий в зависимых выборках более строгим будет применение t-критерия Стьюдента.

В случае определения отличия от нуля коэффициента детерминации эмпирическое значение F-критерия рассчитывается так:

F

T}\N~r)

где: N - общее число испытуемых, r-число интервалов квантования, исходя из которых

рассчитывалось ц2.

При определении критического значения число степеней свободы для числителя:

^числ Г—1,

для знаменателя:

dfзнaм=N-r.

(Коэффициент детерминации - ц2, определяет общую меру связи - корреляционное отношение. Он определяется по формуле:

її

•} . внтр TJ" = 1 ,

Здесь:

SS^p - сумма квадратов отклонений от внутригруппового (условного) среднего;

SSQ6l4 - сумма квадратов отклонений от общего для всех измерений среднего (безусловного среднего);

Следует отметить, что в отличие от линейной корреляции коэффициент детерминации устанавливает два типа связей: зависимость х от у и зависимость у от х (п2х/у, Пух)- То есть сначала одна переменная рассматривается как зависимая, другая - как независимая, затем наоборот).

Пример 5.4. В таблице 5.4. даны результаты тестирования по двум методикам 12 испытуемых. Отличается ли коэффициент детерминации от нуля?

Таблица 5.4.

Испытуемые 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1-я методика (АО 10 10 10 18 18 18 26 26 26 34 34 34 2-я методика (У) 4 5 6 7 8 9 У 8 7 6 5 4 В нашем случае, имеем г|2=0,77, N=12, г=4. Подставляя в формулу,

0,77412-4) ю89з

(1-0,77)(4-1)

получаем Fэмп=8,93.

Критические значения F-критерия для а =0,05, dfчисл=4-1=3, dfзыам=12-4=8 находим по таблице:

F = [4,066 дляp < 0,05 кр = [7,591 дляp < 0,01 Fэмп=8,93>FKр(p<0,01)=7,591

Вывод: Коэффициент детерминации ц2 статистически значимо отличается от нуля (р<0.01).