7.2.7 Критерий Пирсона (χ2-критерий)

Сравнение распределений

Если необходимо сравнить не только основные параметры, но и все распределения, применяют критерий Пирсона χ² (Приложение 4). При помощи этого критерия можно доказать принадлежность данной выборки к нормальному распределению; доказать, что два эмпирических распределения относятся к одному и тому же виду; определить значимо ли отличается частота появления какого-либо события ожидаемого значения во всех интервалах, где эти значения предсказаны на основе теоретических представлений или математической модели [5, 11].

Нулевая гипотеза состоит в предположении, что между эмпирическими и теоретическими распределениями не существует никакого различия. Выборку п значений делят на т классов, при этом должно быть . Для каждого такого класса определяют абсолютную частоту h содержащихся в нем значений измеряемой величины и сопоставляют её с частотой h_t, которая теоретически ожидается в соответствии с моделью:

. (7.22)

Если теоретически найденное значение h_t для отдельных классов достаточно велико (h_t > 5), то найденное значение будет принадлежать χ²-распределению с числом степеней свободы . При этом задаётся числом параметров, необходимых для характеристики выборки. Для нормального распределения .

Если при проверке следует, что , то проверяемая гипотеза отвергается, то есть между эмпирическими и теоретическими распределениями существует значимое различие.

Пример 7.6. На обогатительной фабрике за сутки тремя сменами выпущено сверхплановой продукции соответственно: 2, 13 и 15 т. Можно ли считать различия между количеством сверхплановой продукции по сменам случайным? Данные о работе смен приведены в табл. 7.5.

Если связи между количеством сверхплановой продукции и временем работы смены нет, то количество сверхплановой продукции должна быть одинаковым для каждой смены и равным h_t = 30/3 = 10 (ожидаемое количество сверхплановой продукции).

Таблица 7.5 - Результаты работы смен

Выполняем расчёт критерия χ2:

.

Для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы параметр χ² = 6,0. Значит, выпуск сверхплановой продукции зависит от времени работы смены.