7.1. Краткая теоретическая часть
В настоящем разделе мы изучим основные закономерности, относящиеся к одной из важнейших схем теории вероятностей — схеме последовательных независимых испытаний. В это понятие мы вкладываем следующий смысл.
Под испытанием(опытом) мы станем понимать осуществление определенного комплекса условий, в результате которого может произойти то или иное элементарное событие пространства U элементарных событий. Математической моделью последовательности п испытаний является новое пространство элементарных событий, состоящее из точек
, где
- произвольная точка пространства U, отвечающая испытанию с номером i.
Предположим, что для s-го испытания пространство U разбито на k несовместимых случайных событий , т. е. предположим, что
![]() |
Событие назовем i-м исходом при s-м испытании. Обозначим вероятность i-го исхода при s-м испытании через
.
Обозначим через событие, состоящее из всех тех точек
пространства
, для которых
.



В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда вероятности событий не зависят от номера испытания s; обозначим в этом случае
; в силу несовместимости и единственной возможности исходов
очевидно, имеем
. Эта схема впервые была рассмотрена Я. Бернулли в важнейшем частном случае
; по этой причине указанный случай носит название схемы Бернулли. В схеме Бернулли обычно полагают
.
Из определения независимых испытаний вытекает следующий результат:
Теорема. Если данные п испытаний независимы, то любые т из них также независимы.
Простейшая задача, относящаяся к схеме независимых испытаний, состоит в определении вероятности того, что при п испытаниях событие А наступит т раз, а остальные п—т раз наступит противоположное событие
, обозначим это событие В. Тогда
![]() | (7.1) |
Здесь Аi – событие состоящее в том, что событие А произойдет в i- ом испытании.
Событие В представляет собой сумму несовместных событий, тогда согласно теореме сложения вероятностей получаем![]() | (7.2) |
Вероятность каждого слагаемого в данной сумме по теореме умножения для независимых событий равна . По теореме сложения вероятностей искомая вероятность
равна сумме только что вычисленных вероятностей для всех различных способов т появлений события А и n—т не появлений среди п испытаний. Число таких способов, как известно из теории сочетаний, равно
; следовательно, искомая вероятность равна
![]() | (7.3) |
Так как все возможные несовместимые между собой исходы п испытаний состоят в появлении события 0 раз, 1 раз, 2 раза, ..., n раз, то ясно, что
![]() | (7.4) |
Легко заметить, что вероятность равна коэффициенту при
в разложении бинома
по степеням x.
Исследуем далее, как ведет себя вероятность при различных значениях m. с увеличением m сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте m убывает.











Поставим теперь более общую задачу.
Рассмотрим последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. При этом вероятность появления события в каждом испытании различна.
Обозначим через
. Аi – событие состоящее том что А произойдет в i-ом испытании
– событие состоящее том что А не произойдет в i-ом испытании соответственно.
Следует определить вероятность того что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.
Вероятность того, что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний равна коэффициенту при в выражении производящей функции
![]() | (7.5) |
то есть
![]() | (7.6) |
![]() | (7.7) |
Обозначим через событие состоящее в том, что А появляется не менее m раз в n независимых испытаниях, а вероятность
обозначим
, тогда
![]() | (7.8) |
В тех случаях когда удобно пользоваться следующей формулой
![]() | (7.9) |
Еще по теме 7.1. Краткая теоретическая часть:
- I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
- 6.2. Краткие теоретические сведения.
- Краткие теоретические сведения
- Краткие теоретические сведения
- Краткие теоретические сведения
- Краткие теоретические сведения
- Краткие теоретические сведения
- Краткие теоретические сведения
- Краткие теоретические сведения
- 1.1. Краткая теоретическая часть.
- 2.1. Краткая теоретическая часть.
- 3.1. Краткая теоретическая часть