7.1. Краткая теоретическая часть
В настоящем разделе мы изучим основные закономерности, относящиеся к одной из важнейших схем теории вероятностей — схеме последовательных независимых испытаний. В это понятие мы вкладываем следующий смысл.
Под испытанием(опытом) мы станем понимать осуществление определенного комплекса условий, в результате которого может произойти то или иное элементарное событие пространства U элементарных событий. Математической моделью последовательности п испытаний является новое пространство элементарных событий, состоящее из точек , где - произвольная точка пространства U, отвечающая испытанию с номером i.
Предположим, что для s-го испытания пространство U разбито на k несовместимых случайных событий , т. е. предположим, что
Событие назовем i-м исходом при s-м испытании. Обозначим вероятность i-го исхода при s-м испытании через .
Обозначим через событие, состоящее из всех тех точек пространства , для которых .
Если в пространстве Un имеет место равенство при любых - то испытания называются независимыми.В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда вероятности событий не зависят от номера испытания s; обозначим в этом случае ; в силу несовместимости и единственной возможности исходов очевидно, имеем . Эта схема впервые была рассмотрена Я. Бернулли в важнейшем частном случае ; по этой причине указанный случай носит название схемы Бернулли. В схеме Бернулли обычно полагают .
Из определения независимых испытаний вытекает следующий результат:
Теорема. Если данные п испытаний независимы, то любые т из них также независимы.
Простейшая задача, относящаяся к схеме независимых испытаний, состоит в определении вероятности того, что при п испытаниях событие А наступит т раз, а остальные п—т раз наступит противоположное событие , обозначим это событие В. Тогда
(7.1) |
Здесь Аi – событие состоящее в том, что событие А произойдет в i- ом испытании.
Событие В представляет собой сумму несовместных событий, тогда согласно теореме сложения вероятностей получаем(7.2) |
Вероятность каждого слагаемого в данной сумме по теореме умножения для независимых событий равна . По теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме только что вычисленных вероятностей для всех различных способов т появлений события А и n—т не появлений среди п испытаний. Число таких способов, как известно из теории сочетаний, равно ; следовательно, искомая вероятность равна
(7.3) |
Так как все возможные несовместимые между собой исходы п испытаний состоят в появлении события 0 раз, 1 раз, 2 раза, ..., n раз, то ясно, что
(7.4) |
Легко заметить, что вероятность равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням x.
Исследуем далее, как ведет себя вероятность при различных значениях m. с увеличением m сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте m убывает.
При этом, если является целым числом, то максимальное значение вероятность принимает для двух значений m, а именно и . Если же не является целым числом, то максимальное значение вероятности достигается при , равном максимальному целому числу, большему из и . Число называют наивероятнейшим значением и обозначают через .Поставим теперь более общую задачу.
Рассмотрим последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. При этом вероятность появления события в каждом испытании различна.
Обозначим через . Аi – событие состоящее том что А произойдет в i-ом испытании – событие состоящее том что А не произойдет в i-ом испытании соответственно.
Следует определить вероятность того что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.
Вероятность того, что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний равна коэффициенту при в выражении производящей функции
(7.5) |
то есть
(7.6) | |
(7.7) |
Обозначим через событие состоящее в том, что А появляется не менее m раз в n независимых испытаниях, а вероятность обозначим , тогда
(7.8) |
В тех случаях когда удобно пользоваться следующей формулой
(7.9) |