6.3. Формула Симпсона.

На каждом элементарном отрезке подынтегральная функция f(x) заменяется квадратичной параболой, построенной по трем точкам: концам элементарного отрезка (), () и его середине ().

Площадь полученной криволинейной трапеции служит оценкой элементарной площади Si:

Тогда значение интеграла:

Добавим в скобки , вынесем общий множитель за скобки:

(6.8)

Формула Симпсона имеет высокую точность, так как погрешность метода dм = О(h3)

Рис 6.9. Схема алгоритма метода Симпсона.

Пример 6.3. Вычисление значения ранее рассмотренного интеграла по формуле Симпсона:

Для упрощения расчета возьмем n=2, тогда h=0,75.

Погрешность расчета d = 4,125 – 4,125 = 0.

Такой результат объясняется тем, что подынтегральная функция в примере является квадратичной параболой, и замена ее параболой не вносит погрешности метода, а погрешность округления в расчётах отсутствует.

Рассмотренные формулы являются частным случаем формулы Ньютона-Котеса, полученной в общем виде при замене подынтегральной функции f(x) полиномом k-ой степени (при k=1 – формула трапеций, при k=2 – формула Симпсона). Чем больше k, тем точнее вычисляется интеграл при одинаковом числе узлов n.