Кривизна плоской кривой.

a a

В

А А В

Определение: Угол a поворота касательной к кривой при переходе от точки А к точке В называется углом смежности.

Соответственно, более изогнута та кривая, у которой при одинаковой длине больше угол смежности.

Определение: Средней кривизной Кср дуги называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги .

Отметим, что для одной кривой средняя кривизна ее различных частей может быть различной, т.е. данная величина характеризует не кривую целиком, а некоторый ее участок.

Определение: Кривизной дуги в точке КА называется предел средней кривизны при стремлении длины дуги ® 0.

Легко видеть, что если обозначить = S, то при условии, что угол a – функция, которая зависит от S и дифференцируема, то

Определение: Радиусом кривизны кривой называется величина .

Пусть кривая задана уравнением y = f(x).

y

B

Dj

A j j+Dj

x

Kcp = ; ;

Если j = j(x) и S = S(x), то .

В то же время .

Для дифференциала дуги: , тогда

Т.к. . В других обозначениях: .

Рассмотрим кривую, заданную уравнением: y = f(x).

A

C(a, b)

Если построить в точке А кривой нормаль, направленную в сторону выпуклости, то можно отложить отрезок АС = R, где R – радиус кривизны кривой в точке А. Тогда точка С(a, b) называется центром кривизны кривой в точке А.

Круг радиуса R с центром в точке С называется кругом кривизны.

Очевидно, что в точке А кривизна кривой и кривизна окружности равны.

Можно показать, что координаты центра кривизны могут быть найдены по формулам:

Определение: Совокупность всех центров кривизны кривой линии образуют новую линию, которая называется эволютой по отношению к данной кривой. По отношению к эволюте исходная кривая называется эвольвентой.

Приведенные выше уравнения, определяющие координаты центров кривизны кривой определяют уравнение эволюты.