Открытие по аналогии.

Аналогия, по-видимому, имеет долю во всех открытиях, но в некоторых она имеет львиную долю. Проиллюстрируем это примером, не совсем элементарным, но имею­щим исторический интерес и производящим значительно более силь­ное впечатление, чем любой вполне элементарный пример.

Яков Бернулли, швейцарский математик (1654—1705), совре­менник Ньютона и Лейбница, открыл суммы нескольких бесконеч­ных рядов, но ему не удалось найти сумму ряда чисел, обратных квадратам:

Эта задача привлекла внимание другого швейцарского математика, Леонарда Эйлера (1707—1783), который родился, как и Яков Бернулли, в Базеле и был учеником Иоганна Бернулли (1667—1748), брата Якова. Он нашел различные выражения для искомой суммы (определенные интегралы, другие ряды), но ни одно из них его не удовлетворяло. Одним из этих выражений он воспользовался, чтобы вычислить сумму с точностью до семи знаков (1,644934). Но это только приближенное значение, а его целью было найти точное. В конце концов, он открыл его. Аналогия привела его к чрезвычайно дерзкому предположению.

(1) Начнем с обозрения нескольких элементарных алгебраических фактов, существенных в открытии Эйлера. Если уравнение n-й степени

имеет n различных корней

то многочлен, стоящий в его левой части, может быть представлен как произведение n линейных множителей,

Сравнивая члены с одной и той же степенью x в обеих частях этого тождества, выводим хорошо известные соотношения между корнями и коэффициентами уравнения, простейшим из которых является

мы находим его, сравнивая члены с х в степени n-1.

Разложение на линейные множители можно представить по-другому.

и

Существует еще другой вариант. Предположим, что уравнение степени 2n имеет вид

и 2n различных корней

Тогда

и

Эйлер рассматривает уравнение

или

Левая часть имеет бесконечное число членов, она «бесконечной степени». Поэтому не удивительно, говорит Эйлер, что имеется бесконечное число корней

(2) Эйлер отбрасывает корень 0. Он делит левую часть уравнения на х, линейный множитель, соответствующий корню 0, и получает таким образом уравнение

с корнями

Мы встречались с аналогичной ситуацией раньше, в (1), когда рассматривали последний вариант разложения на линейные множители. Эйлер по аналогии заключает, что