Аналогия и индукция.
МЫ ХОТИМ узнать что-нибудь о природе изобретательных и индуктивных рассуждений. Что мы можем почерпнуть из только что приведенного рассказа?
(1) Решающий шаг Эйлера был дерзким.
С точки зрения строгой логики он был явной ошибкой: Эйлер применил правило к такому случаю, для которого правило не было установлено; правило, относящееся к алгебраическим уравнениям, он применил к уравнениям неалгебраическим. С точки зрения строгой логики шаг Эйлера не был оправдан. Однако он был оправдан аналогией, аналогией с наиболее плодотворными достижениями растущей науки, которую через несколько лет он сам назвал «Анализом Бесконечного». Другие математики, до Эйлера, переходили от конечных разностей к бесконечно малым разностям, от сумм с конечным числом членов к суммам с бесконечным числом членов, от конечных произведений к бесконечным произведениям. И таким же образом Эйлер перешел от уравнений конечной степени (алгебраических уравнений) к уравнениям бесконечной степени, применяя к бесконечному правила, установленные для конечного.Эта аналогия, этот переход от конечного к бесконечному, окружен ловушками. Как избежал их Эйлер? Он был гением, ответят некоторые, и, конечно, это вовсе не объяснение. Эйлер имел серьезные основания верить в свое открытие. Имея хоть сколько-нибудь здравого смысла, мы можем понять эти основания без сверхъестественной проницательности, свойственной гениям.
(2) Основания Эйлера для веры в это открытие, кратко изложенные выше, не являются доказательными. Эйлер не возвращается к исследованию оснований своего предположения, своего дерзкого перехода от конечного к бесконечному; он только изучает его следствия. Он рассматривает подтверждение любого такого следствия как аргумент в пользу своего предположения. Он принимает и приближенные и точные подтверждения, но, по-видимому, придает больше веса последним. Он изучает также следствия тесно связанных аналогичных предположений ) и рассматривает подтверждение такого следствия как аргумент в пользу своего предположения.
Основания Эйлера в действительности были индуктивными. Изучение следствий предположения и оценка его на основе такого изучения —это типичный индуктивный прием. В научном исследовании, как и в обычной жизни, мы верим, или должны были бы верить, в предположение больше или меньше в соответствии с тем, лучше или хуже его обозримые следствия согласуются с фактами.
Короче говоря, Эйлер, по-видимому, рассуждает таким же образом, как обычно рассуждают разумные люди, ученые или неученые. Он, по-видимому, принимает некоторые принципы:
Предположение становится более правдоподобным после подтверждения любого нового следствия.
И:
Предположение становится более правдоподобным, если становится более правдоподобным аналогичное предположение.
Не этого ли рода принципы лежат в основе процесса индукции?
Еще по теме Аналогия и индукция.:
- § 3. Умозаключение по аналогии. Место аналогии в судебном Исследовании
- § 4. Пробелы в праве и пути их преодоления. Аналогия закона и аналогия права
- 12.4. Правоприменение при пробелах в праве. Аналогия закона и аналогия права
- Пробелы в праве. Аналогия закона и аналогия права
- 85. Аналогия закона и аналогия права.
- Аналогия закона и аналогия права.
- Пробелы в праве аналогия закона и аналогия права. Субсидиарное применение права.
- 5.1. Неполная, индукция
- Индукция
- Неполная индукция
- Индукция и дедукция
- Индукция как метод подтверждения
- Индукция
- Индукция
- Полная индукция
- 2) Индукция не является надежным выводом.
- 1.2.1. Индукция иммунного ответа
- §9. Полная математическая индукция.
- §2. Метод математической индукции
- Пять основных видов или методов бэконовекой индукции