12. Второй замечательный предел.

Замечание:

(a+b)n=-Формула бином-Ньютона

-Число сочитаний; это число показывает сколькими способами можно выбрать из n-эл-ов i-эл-ов.

Пример:

Рассмотрим числовую послед-ть an=(1+

Теорема: Последнее {} имеет предел.

Док-во: Покажем что посл-тьвозрастает

Распишем по формуле бином-Ньютона =1+n

+…+

С ростом n увелич-ся как число положительных слагаемых, так и величина каждого слогаемого.Т.о,{an}возрастает.Но при этом {an} ограничена.

Покажем,что {an} ограничена.

an

Ещё более увеличим правую часть, сделав замены

;

2+

Т.о. мы получили 2

Т.к.{an}возрастает и ограничена числом 3,то она имеет предел.

Числом называется предел послед-ти

n-

Можно показать что функция ,при ,так же имеет своим пределом число e

,сделав замену e=

Задача о непрерывном начислении процентов. Пусть первоначальный вклад в банк составлял Q0 д.е.

При использовании простых % размер вклада будет увеличиваться на одну и ту же величину Qt= Q0(1+)

Но чаще на практике применяются сложные проценты.

В этом случае размер вклада будет увеличиваться в одно и тоже число 1+ Q= Q0(1+; Q2= Q0(1+2; Qt = Q0(1+t

Если начислять проценты не один раз в год,а n раз, то при ежегодном приросте р% за часть года составит ,а размер вклада за t лет,при nt начислениe составит: Qt = Q0(1+nt

if n изменять непрерывно(ежечасно),то размер вклада через t лет составит:

Qt=nt = Q0 эта формула выражает экспонициальный закон роста р

Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление % применяется редко,оно оказывается эффект-м при анализе сложных финансовых проблем в частности, при выборе и обосновании инвестиционных решений.