3.2.1. Поиск путей (маршрутов) с минимальным числом дуг (ребер)

При решении некоторых прикладных задач нередко возникает необходимость найти маршрут, соединяющий заданные вершины в графе G. Данная задача решается при использовании алгоритма Тэрри.

Рассмотрим более сложную задачу: нахождение пути (маршрута) с минимальным числом дуг (ребер).

Определение. Путь в орграфе D из вершины v в вершину w, где v ? w, называется кратчайшим, если он имеет минимальную длину среди всех путей орграфа D из v и w. Аналогично определяется и кратчайший маршрут в графе G.

Утверждение. Любой кратчайший путь (маршрут) является простой цепью.

Рассмотрим задачу поиска минимального пути (маршрута). Введем некоторые обозначения. Пусть D=(V, X) – орграф, vÎV, V1ÌV. Обозначим D(v)={wÎV| (v, w)ÎX} – образ вершины v; D-1(v)={wÎV| (w,v)ÎX} – прообраз вершины v; - образ множества вершин V1; - прообраз множества вершин V1. Пусть G=(V, X) – граф, vÎV, V1ÌV. Обозначим G(v)={wÎV|{v, w}ÎX} – образ вершины v; - образ множества вершин V1.

Пусть D=(V, X) – орграф с n ? 2 вершинами и v, w – заданные вершины из V, где v ? w. Опишем алгоритм поиска кратчайшего пути из v в w в орграфе D.

Алгоритм фронта волны.

Шаг 1. Помечаем вершину v индексом 0. Затем помечаем вершины, принадлежащие образу вершины v, индексом 1. Множество вершин с индексом 1 обозначаем FW1(v). Полагаем k=1.

Шаг 2. Если FWk(v)=? или выполняется k=n-1, wÏFWk(v), то вершина w не достижима из v, и работа алгоритма на этом заканчивается. В противном случае переходим к шагу 3.

Шаг 3. Если wÏFWk(v), то переходим к шагу 4. В противном случае существует путь из v в w длины k, и этот путь является кратчайшим. Последовательность вершин

vw1w2…wk-1w, где

и есть искомый кратчайший путь из v и w. На этом работа алгоритма заканчивается.

Шаг 4.

Помечаем индексом k+1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин с индексом k. Множество вершин с индексом k+1 обозначаем FWk+1(v). Присваиваем k:=k+1 и переходим к шагу 2.

Замечание. Множество FWk(v) обычно называют фронтом волны k-го уровня.

Замечание. Вершины w1w2…wk-1 , вообще говоря, могут быть выделены неоднозначно. Эта неоднозначность соответствует случаям, когда существует несколько различных кратчайших путей из v и w.

Пример 81.

Определить кратчайший путь из v1 и v6 в орграфе D, заданном матрицей смежности (табл. 67).

Таблица 67

v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 0 0 0 1 1 0
v2 1 0 0 1 1 1
v3 1 1 0 1 1 1
v4 0 1 1 0 1 0
v5 1 1 1 1 0 0
v6 1 1 1 1 1 0

Решение.

Согласно алгоритму Фронта волны, последовательно определяем

FW1(v1) = {v4, v5};

FW2(v1) = D(FW1(v1))\{v1, v4, v5} = {v2, v3};

FW3(v1) = D(FW2(v1))\{v1, v2, v3, v4, v5} = {v6}.

Таким образом, v6 Î FW3(v1), а значит, существует путь из v1 в v6 длины 3, и этот путь является кратчайшим. Найдем теперь кратчайший путь из v1 в v6. Определим множество

Выберем любую вершину из найденного множества, например вершину v3. Определим далее множество

Выберем любую вершину из найденного множества, например вершину v5. Тогда v1v5v3v6 – искомый кратчайший путь из v1 в v6 (длины 3) в орграфе D.

<< | >>
Источник: Лекции - Дискретная математика. 2016

Еще по теме 3.2.1. Поиск путей (маршрутов) с минимальным числом дуг (ребер):

  1. Задача о кратчайшем пути.
  2. Задача поиска контура минимальной средней длины
  3. Путь максимальной эффективности.
  4. Путь максимальной эффективности с учетом штрафов.
  5. Определение 3.
  6. 1.4. Методы приближенного агрегирования линейных моделей
  7. 3. ПЕРЕХОДНЫЙ ЭТАП ОТ ПОСТИНДУСТРИАЛИЗМА КНЕОЭКОНОМИКЕ: ФОРМИРОВАНИЕ ЭТНОЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ПОИСК ПУТЕЙ ГАРМОНИЗАЦИИ
  8. 1.2 Значение логистического обеспечения для развития сбытовых процессов на предприятии
  9. ОЧЕРК ЧЕТВЕРТЫЙ
  10. Глава 8ВЕРА И ВЕРНОСТЬ. ПОИСК ПУТИ
  11.   2. Фальсификация диалектико-материалистической философии путем «отождествления» ее с религией  
  12. Глава 4. Россия и славянский мир
  13. «Исламский путь развития»
  14. 7.4. Глобальные проблемы современности и пути их решения
  15. 3.2.1. Поиск путей (маршрутов) с минимальным числом дуг (ребер)
  16. 3.2.3. Нахождение минимального пути в нагруженном графе
  17. 3.4.3. Алгоритм построения максимального потока в транспортной сети
  18. Задача о потоке минимальной стоимости
  19. ПОЛИТИЧЕСКАЯ БОРЬБА И ПОИСКИ ПУТЕЙ К ОБЪЕДИНЕНИЮ КИТАЯ
  20. Обзор методов поиска пути