<<
>>

§ 1. УРАВНЕНИЕ РЕАКЦИИ СИСТЕМЫ

Общую теорию устойчивости систем регулирования, описываемую в настоящей главе, можно сформулировать с помощью только двух операторов: оператора пропорционального преобразования k и оператора дифференцирования D или же с помощью оператора пропорционального преобразования k и оператора правого сдвига (или опережения) Е.

В § 5 гл. 1 мы показали, что. работу любой линейной системы регулирования можно описать с помощью трех элементарных операторов: 1) оператора пропорционального преобразования, действие которого состоит в умножении состояния входа элемента на действительное число k, 2) оператора дифференцирования D и 3) оператора опережения Е.

К этим трем элементарным операторам можно свести все другие операторы, прежде всего операторы, обратные относительно элементарных, то .есть (1) оператор интегрирования D" = | ... dt и (2) оператор запаздывания4

Оказывается, однако, что оператор дифференцирования и оператор опережения не являются независимыми; поэтому один из них можно заменить другим. Таким образом можно ограничить число основных линейных операторов двумя.

Выше было показано (см. гл. IV, § 2), что оператор -gj- при стремится в пределе к результату применения оператора D. Таким переходом к пределу мы уже пользовались ранее. Можно, однако, и иным способом показать непосредственную связь между оператором Е (а тем самым и оператором Д) и оператором D.

Пусть х (t) — непрерывная функция переменной /, дифференцируемая произвольное число раз. Введем обозначение х (/ + 0) =£0; это значит, что f0 есть оператор замены значения х (t) значением х (/ + 0), то есть оператором правого сдвига (опережения) аргумента функции на 0. Значения функции х (/ + 0) можно разложить в ряд Тейлора. Получим^

Евх(t) = x(t + Q) = x(t) + -g-xf (t) + ^xT(t)+ ...,

где xf(t), x"{t), ••• — последовательные производные в точке С помощью оператора дифференцирования D этот результат. можно записать в следующем виде:

или же

Таким образом, налицо эквивалентность операторов:

+ + .... (5.1)

Оператор Я6, то есть оператор правого сдвига аргумента функции на 0, является таким образом эквивалентным степенному ряду оператора D.

Используя известное разложение показательной функции в степенной ряд

выражение (5.1) можно записать в виде

& = (5.2)

или же

QD = In Е?. (5.2а)

Приняв 0=1, получим в конечном счете

Е = е° или D = \nE. (5.3)

Итак, зависимость между операторами Е и D установлена. Поскольку Д = Е—1, то отсюда следует и зависимость A = eD—Iі. Таким образом, число элементарных операторов можно свёсти к двум: оператору пропорционального преобразования k и оператору дифференцирования D (или же оператору правого сдвига Е).

Как известно, любую линейную систему регулирования можно представить как совокупность соединенных между собой элементарных систем, то есть элементов, в которых совершаются преобразования, определяемые элементарными операторами. Совокупное преобразование, осуществляемое в системе, описывается выражением у — Тху где х — состояние входа, а у — состояние выхода системы, или же выражением обратного преобразования х=Т~1у. Последнее выражение особенно удобно для исследования процессов

1 Отсюда имеем также и примененный выше переход к пределу. Поскольку

M = + ...

ИЛИ

то, рассматривая 0 как переменную " и записывая 0=Д/ в соответствии с использованной ранее символикой, получим

де

если At 0, то нгг Дг

регулирования, ибо, зная заданное значение состояния выхода системы (y = z), можно непосредственно определить необходимое значение состояния входа х (уровень настройки, питание системы): х=Т~]у.

Оператор Т~\ как и оператор 7\ есть результат алгебраических действий над элементарными 1 операторами k, D и £е (или обратными им операторами).

В каждом элементе осуществляется преобразование, определяемое одним из перечисленных элементарных операторов (пропорционального преобразования, дифференцирования или правого сдвига — опережения) или же соответствующим обратным оператором (интегрирования, левого сдвига — запаздывания). Элементы же соединяется между собой параллельно, последовательно или обратной связью. Как известно, результат этих соединений выражается сложением, умножением или делением операторов (вычитание есть сложение с оператором, умноженным на оператор пропорционального преобразования k=—1).

Поэтому оператор Т~1 (или оператор Т) совокупного преобразования, происходящего в системе регулирования, можно представить в виде операторного многочлена переменных D и Ед:

b m

Г-'= 2 (5.4,

r--k 5-0

В ЭТОМ многочлене коэффициенты drs есть результат перемножения различных значений k, соответствующих осуществляемым пропорциональным преобразованиям; следовательно, это действительные числа. Операторы Dr обозначают r-кратное дифференцирование, если г>0, или интегрирование, если г<0, операторы обозначают сдвиг на 0„ вправо, если 9S>0, или влево, если 08<О. Если 0 или 0S = O, то имеем операторы тождественного преобразования D0 и £е, которые можно опустить. Очевидно, что некоторые (но не все) коэффициенты ars могут равняться нулю. Предположим, что число элементов системы является конечным, так что пределы суммирования k (максимальное число повторений интегрирования), / (максимальное число повторений дифференцирования) и т (т+1 есть число сдвигов) конечны.

Совокупное преобразование х=Т~у, происходящее в системе регулирования, можно, следовательно, записать следующим образом:

flm \

\Г k 5-0 /

Предположив, что х и у есть функции времени x(t) и у (і) —назовем их функцией входа и функцией выхода— и что функция y(t) является дифференцируемой и интегрируемой необходимое число раз; последнее выражение мы можем рассматривать как операторную запись линейного функционального уравнения с постоянными коэффициентами:

( 2 2 arsDrE?s)y{t) = x{t), (5.5)

\r~-k 5-0 /

или, в неоператорной форме,

/ т

2 2 arsy{r) (t -Qs) = x (*), (5.5а)

r^-k 5-0

где yW (t—0S) обозначает r-ую производную (для г>0) или r-кратный интеграл (для г<0) функции y(t) в момент t — Qs-

Полученное функциональное уравнение представляет собой концентрированное описание совокупной работы системы (в целом). Правая его часть описывает динамику изменения состояния входа системы (уровня настройки) во времени; определяет же это уравнение функцию y(t), представляющую собой динамику состояния выхода системы, соответствующую определенной динамике состояния входа. Поэтому

уравнение (5.5) мы назовем уравнением реакции си- стемы.

Функциональное уравнение (5.5) можно преобразовать таким образом, чтобы оно не содержало интегралов в левой части. Для этого введем новую функцию y*(t)=D~ky(t) и подставим ее в левую часть уравнения (5.5). Получим эквивалентное уравнение

/k+І m \

2 ^arsDrE?Ay*{t) = x(t). (5.6)

\Г = 0 5-0 /

В его левой части содержатся лишь операторы дифференцирования и правого сдвига. Следовательно, это — дифференциально-разностное уравнение К Оказывается, что уравнение реакции линейной системы регулирования^ всегда можно записать в виде диффе- рейциально-разностного уравнения. Операторы дифференцирования в таком уравнении выражают непре- рйвные процессы, а операторы опережения — дискретные процессы, происходящие в системе регулирования.

В частном случае, когда все процессы, происходящие в системе регулирования, непрерывны, уравнение (5.6) сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

<ЧГ it) + axDy(t) + a2D>y(/)+...

... +anDny(t) = x(t). (5.7a)

В случае же когда все процессы дискретны, уравнение (5.6) сводится к линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами.

a0y*(t)+al^y*(t) + a2E«>y*(t) + ...

. ... + amE?my(t) = л: (/)• (5.76)

Для упрощения мы будем в дальнейшем опускать звездочку в символе y*(t) в дифференциально-разно- стном уравнении (5.6) и в различных его частных случаях.

Операторная форма уравнения (5.6) позволяет записать его решение также в операторной форме:

п т Х"1

S *(')» (5-8)

г-о 5 = 0 / ^

причем n=k + l в формуле (5.6). Эта запись выражает преобразование у = Тх.

Решение (5.8) уравнения реакции системы всегда можно представить в виде основной формулы теории регулирования:

у(*)=т=шхЮ- '

Для этого запишем решение (5.8) в следующем виде:

г«=0 5=0

и произвольно разложим операторный многочлен в знаменателе на два слагаемых. Получим: 4

У (t) = г-*—і х (О-

р a s^a

Умножив числитель и знаменатель дроби в правой части на (2 2Л о^^0*)"1, получим выражение

\ Р а ра /

(s 2 араОр£е*Г

у(І) = р ° -, - : x(t).

\ P а / \ г^р /

(5.10)

Записывая

(2 Паролям" и 2 ZarsD'E»*,

\ P a / r=^p

мы констатируем, что 'это есть разновидность основной формулы (5.9) теории регулирования.

Оказывается, что любую линейную систему взаимосвязанных действий можно разложить на две части, одна из которых функционирует как регулируемая система, а другая — как регулятор. Часть элементов системы относится к регулируемой системе, а остальная часть — к регулятору. При этом отнесение элементов к регулируемой системе и регулятору является произвольным, лишь бы все элементы, не отнесенные к одной системе, были отнесены к другой, а общий оператор элементов, отнесенных к регулятору, был бы подвергнут пропорциональному преобразованию — 1.

Это показано на блочной схеме на рис. 49. Поскольку распределение элементов произвольно, то существует много способов разложения системы взаимосвязанных действий на регулируемую систему и регулятор; все эти способы эквивалентны.

Для иллюстрации рассмотрим случай, когда все процессы, происходящие в системе, непрерывны и уравнение реакции системы принимает вид дифференциального уравнения (5.7а). Тогда решение этого уравнения записывается так:

ао + axDa2D2 + ...

Разделив числитель й знаменатель дроби на а0 (будем считать, что аоФО), преобразуем это уравнение следующим образом:

а"1 _

У {t) = l-a«l(-alD-a2D2-...-anD") *

Предположив a0_1=S и —aiD—a2D2—..—anDn=R, получим формулу регулирования (5.9).

Блочная схема, соответствующая этому дифференциальному уравнению, идентична схеме на рис. 49, с той лишь разницей, что оператор регулируемой системы есть S = a^11 а оператор регулятора есть /? = — (a\D+a2D2+.. . + anDn). Регулируемая система состоит лишь из одного элемента, в котором происходит пропорциональное преобразование аг1 =

Преобразование же, происходящее в регуляторе, есть сумма п преобразований. Следовательно, регулятор здесь эквивалентен системе п параллельно соединенных регуляторов (см. рис. 50). В каждом из этих регуляторов происходит преобразование типа — arDr, то есть одно пропорциональное преобразование и г- дифференцирований (г = 1, 2, ... , п). В свою очередь эти регуляторы можно разложить на соответствующее число элементарных регуляторов, соединенных последовательно (см. рис. 51). В каждом таком последовательном соединении происходит одно пропорциональное преобразование — аг и r-кратное преобразование, состоящее в дифференцировании (г = 1, 2, ..и , п).

Подобным же, лишь несколько более сложным образом можно представить формулу (5.10), то есть решение дифференциально-разностного уравнения (5.6).

Это дает возможность раскрыть структуру соединений элементов, из которых складывается система, и выделить среди них элементы регулируемой системы и эле-

менты регулятора. Более того, каждое линейное дифференциально-разностное (тем самым и дифференциальное, и разностное) уравнение с постоянными коэффициентами может быть интерпретировано кибернети- чески с помощью блочной схемы. Каждое такое уравнение можно рассматривать как описание определенных процессов регулирования. Это имеет практическое значение, ибо на основе блочных схем, подобных тем, что изображены на рис. 50 и 51, можно построить модели (например, электрические) или аналоговые машины для решения дифференциально-разностных уравнений. Так можно строить машины (так называемые аналоги или имитаторы) для изучения реакции различных систем сопряженных действий.

Уравнение реакции системы (5.6) записано с помощью трех операторов: оператора k (который выступает здесь в виде коэффициентов ars), операторов D и £е. Однако это уравнение можно записать с помощью лишь двух элементарных операторов — оператора пропорционального преобразования k (в виде коэффициентов аГ8) и оператора дифференцирования D. Учитывая зависимость между оператором Ев и оператором D, определяемую формулой (5.2), вместо Eds можно прдставить ев*°.

В итоге уравнение (5.6) можно записать в виде \

/ п m \

2 ЪатДеь*°}у(1) = хЦ). (5.11)

Соответственно, подставив ее*° вместо решение (5.8) уравнения реакции системы можно представить в виде формулы регулирования (5.10). Последняя запись уравнения реакции системы особенно удобна при его решении.

§ 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ СИСТЕМЫ

Рассмотрим методы решения дифференциально- разностного уравнения (5.11), с помощью которого сформулирована общая теория систем регулирования.

Сначала рассмотрим два частных случая: 1) уравнение однородно, то есть 'x(t) = 0 для всех значений /, 2) уравнение неоднородно, то есть x(t) Ф0, по крайней ,мере для некоторых 'значений t.

Рассмотрим сначала случай, когда уравнение однородно:

/ п т \

2 2arsDrA°Uo = 0. (5.12)

\г«0 5-0 /

Метод решения однородного линейного дифференци- ально-разностного уравнения с постоянными коэффициентами такой же, что и общеизвестный метод решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Он применялся выше в простейшем случае для дифференциального уравнения первой степени— см. уравнение (4.6) в главе 4.

Примем, что решение имеет вид показательной функции y(t)—e%t, и проверим его, подставив в уравнение (5.12). Учитывая, что Drext = XreKty находим

(І %агХевАем = 0.

\г=»0 5=0 /

а поскольку еи Ф 0, то

п т

2 о. (5.13)

г-о 5-0

Оказывается, что функция y(t)=eXt действительно является решением уравнения (5.12), если параметр X удовлетворяет уравнению (5.13), то есть является корнем этого уравнения. Следовательно, выражение (5.13) есть так называемое характеристическое уравнение дифференциально-разностного уравнения.

В случае, когда все процессы в системе регулирования непрерывны, левая часть характеристического уравнения является алгебраическим многочленом п-ой степени и уравнение имеет п корней (считая р-кратный корень как р корней). Однако в общем случае, когда имеют место и дискретные процессы, вводящие в характеристическое уравнение множители левая часть этого уравнения является так называемым показательным многочленом (и следовательно, трансцендентной функцией). Показательный многочлен есть аналитическая функция, определенная на всей комплексной плоскости. На этой ПЛОСКОСТИ е есть периодическая функция с периодом 2яL Поэтому существует бесконечно много характеристических корней. Совокупность характеристических корней является счетной, ибо из теории аналитических функций известно, что нули аналитических функций (тождественно не равных нулю) изолированы в областях существования (определения) этих функций. Следовательно, существует ряд функций уг = ekit, у2 = ..., которые являются решением дифференциально-разност- ного уравнения. Этот ряд, как правило, бесконечен, кроме случая, когда все 0S = O и уравнение преобразуется в обычное дифференциальное уравнение; тогда характеристический многочлен становится алгебраическим многочленом.

Методами подстанрвки и индукции также можно показать, что если функции eklt, eut, ... — решения однородного уравнения (5.12), то и взвешенная сумма таких функций является решением этого уравнения. Поэтому общее решение однородного дифференциально-разностного уравнения (5.12) имеет вид:

у

В случае когда корень Xj имеет кратность, равную, скажем, р9 как нетрудно проверить путем непосредственной подстановки, кроме функции tfV, решениями уравнения (5.12) являются функции teV, teKi\ ..., tp~eKitl. Значит,

решением является также взве- шенная сумма (Кг + K2t + К3t2 -f ... Kptp~l) Л'; б скобках стоит многочлен, степень которого на единицу меньше кратности функции. Следовательно,-учитывая возможность кратных корней, общее решение запишем в следующем виде:

y(t)=^qj{t)eKi\ (5.14)

і

где qj(t) есть многочлен, степень которого на единицу меньше кратности соответствующего характеристического корня qj(t) есть постоянная, если соответствующий корень Xj имеет кратность, равную единице.

Коэффициенты qj(t) определяются по начальным условиям задачи. Если число коэффициентов бесконечно и счетно (как это обычно бывает), то необходимо бесконечное число условий. Оно дано в неявной форме, если известна динамика функции в начальном интервале от t=О до /=max0s, соответствующем максимальному сдвигу вправо (опережению).

Рассмотрим решение неоднородного дифференциально-разностного уравнения (5.11). Такое решение можно представить в виде суммы двух функций У(і) ==у(0 первая из которых есть общее реше

ние соответствующего однородного уравнения, получающегося при условии, что в пра&ой части x(t)= О, а вторая есть произвольное частное решение неоднородного уравнения.

Чтобы убедиться в этом, подставим сумму y(t) + +y(t) в неоднородное уравнение (5.11). Преобразуя, имеем

п т \ / п т \ '

г—0 5-0, - / \г—0 5-0 /

Если Xj есть р-кратный корень, то

F (Лу) V = F (Xj) V = F (Яу) Л V « ...

... =F{Xj)tp-leK}f = 0,

и, следовательно, teV, ... , tp~lekf являются ре

шениями однородного уравнения (5.12).

Поскольку y(t) есть общее решение однородного уравнения, то первое слагаемое равно нулю. Второе же слагаемое равняется x(t), либо y(t) есть частное решение неоднородного уравнения. Поэтому y(t) + +У(і) удовлетворяет неоднородному уравнению (5.11).

Таким образом, общее решение уравнения f5.ll) можно представить в виде

y(t)=Iiqj(t)eKft + y(th (5.15)

где у (t) —частное решение неоднородного уравнения.

Решение y(t) легче всего можно найти операторным методом. Оно дается формулой (5.8): Вводя опе-

8 D с9

ратор е s вместо оператора t получим

in т Ч"1

y(t)= 2 2thfifi^) x(t). (5.16)

Vr-o 5-q /

В том, что это выражение есть решение дифференциально-разностного уравнения (5.11), мы убеждаемся, подставляя его в уравнение (5.11). Получаем x(t)*= =x(t).

Как мы знаем, выражение (5.16) можно свести к основной формуле теории регулирования вида (5.9). Так, его можно записать в следующем виде:

уМ = т4шхУ)> (5-17)

где 5 = (2 2 apoDpeeoY' и # = -2 2 arsDrees°.

\ \ р а / гфр эфо

Поэтому общее решение уравнения реакции системы даожно записать так:

У і*) = £ Я І (t) & + T=srx W- <5Л8>

Это решение определяет поведение выхода системы, то есть функцию выхода y{t), если вход системы получил питание, соответствующее функции входа x(t). Как видно из формул (5.15) или (5.18), это поведение выражается суммой двух слагаемых. Второе

слагаемое этих формул — частное решение y{t) —

= t _ х (/) — зависит от функции входа x(t), то

есть от динамики состояний входа (питания) системы. Назовем его зависимым (или питаемым) элементом. Первое же слагаемое — решение однородного уравнения — не зависит от состояний входа системы, а зависит лишь от структурных свойств системы, от ее «собственных признаков». Выражением этих «собственных признаков» системы являются характеристические корни. Назовем это слагаемое собственным элементом.

Характеристические корни Kj могут быть действительными или комплексными; для всякого комплексного корня всегда существует комплексно сопряженный ему корень, ибо коэффициенты ars по условию действительны. Если эти корни действительны, то возможны три случая:

1) Все корни действительны и отрицательны, то есть A,j<0 для всех /. Тогда собственный элемент решения стремится к" нулю при t — оо. С течением времени это слагаемое исчезает; поэтому в таком случае его также называют переходным элементом. Следовательно, общее решение y(t) ->y(t) или к зависимому , элементу, определяемому основной формулой регулирования. В этом случае система устойчива и стремится к определенному состоянию равновесия. Состояние равновесия изменяется во времени, если изменяется уровень питания x(t) —тогда говорят о -подвижном равновесии, — или же остается неизменным, если уровень питания постоянен, — тогда говорят о стационарном равновесии. Процесс монотонно сходится к состоянию равновесия.

Если система подвергается регулированию, то_ существует заданное значение z(t) (норма), которому должно соответствовать состояние выхода системы. При управляемом регулировании эта норма есть результат принятого критерия управления. Если y(t) = =z(t), то система работает в соответствии с поставленной перед ней задачей, если же у(і)фг(і-), то

налицо систематическая ошибка є(t) =у (t)—z(t) Эту ошибку, как известно, можно устранить, перестроив часть системы, которая работает как регулятор, или же соответственно изменив питание системы, то есть функцию входа x(t).

  1. По крайней мере один из действительных корней положителен (Xj > 0). Тогда «собственный» элемент решения (5.15) или (5.18) стремится к оо при t-±oo. В этом случае система неустойчива, состояние выхода y(t) все более отдаляется от равновесия, определяемого питающим элементом. «Собственные признаки» системы все более нарушают эффект питания x(t)y система все более «выходит» из-под влияния питающего элемента. В этом случае собственный элемент y(t) определяет тенденцию (тренд) развития состояния выхода системы. Эта тенденция не зависит от питания x(t), она является результатом «собственных признаков» системы, выражает внутренний закон ее движения
  2. Все корни Xj=0. Тогда собственный элемент решения имеет произвольное значение и y(t) равно произвольному значению +y(t). В этом случае говорят, что система находится на границе устойчивости, и ей можно сообщить произвольное отклонение от состояния равновесия y(t). Это отклонение не уменьшается и не возрастает. Здесь любое состояние системы является состоянием равновесия.

Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение имеет комплексные корни. Пусть Xj = aj + i$j-t тогда функцию ehif можно записать как

Пользуясь известной формулой Эйлера et(D=cos со + +/sin (о, получим:

еЧ = еॠ(cos Ру/ + і sin (5.19)

Следовательно, если характеристический корень является комплексным^ собственный элемент решения уравнения реакции системы содержит периодическую составляющую. Таким образом, динамике состояния ц^іхода у(0 соответствует колебательный режим. Характер колебаний зависит от знака действительной части корня, то есть от otj, который определяет амплитуду колебаний. Если о^<0, то есть aj отрицательна, то колебания с течением времени затухают. Если aj = 0, то колебания постоянны, то есть амплитуда их неизменна; если aj>0, то амплитуда колебаний неограниченно возрастает.

Поскольку действительные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, то полученные- результаты можно подытожить следующим образом: Запишем характеристические корни .как комплексные числа:

Xj = reXj-{- imXj,

где reXj обозначает действительную часть, а imXj— мнимую часть. Действительная часть определяет устойчивость системы: система устойчива, если reXj<0 для всех значений Xj9 находится на границе устойчивости, если reXj=0 для всех значений Xjf неустойчива, если reXj>0 по крайней мере для одного значения Xj. Мнимая часть определяет, носят ли изменения состояния выхода системы во времени монотонный или колебательный характер. Эти изменения монотЬнны, если imXj—0 для всех значений Xj\ Изменения носят колебательный характер, если ітХ^Ф0 для одного или более значений

Особого внимания заслуживает ситуация, когда существует один или несколько действительных положительных корней Xj и один или несколько таких комплексных корней^ что reXj<0. Действительные положительные корни определяют тренд состояния выхода системы, а комплексные корни определяют колебания состояний выхода во времени. Поскольку собственный элемент системы есть сумма выражений вида то тренд и колебания накладываются

друг на друга. Однако поскольку rekj<О, то эти колебания с течением времени затухают, отклонения от тренда постепенно ликвидируются. В таком случае мы говорив, что система самоуправляется (саморегулируется) . «Внутренние признаки» системы определяют «внутренний закон движения», выражаемый свойственным системе трендом динамики состояний ее выхода; те же внутренние признаки определяют и свойство самоликвидации колебательных отклонений от тренда.

Интересен также случай системы, находящейся на границе самоуправления (саморегулирования). Это имеет место, когда одна часть характеристических корней действительна и положительна, а другая часть является комплексной и ге%д*С0, причем reXj = 0 по крайней мере для одного из них. Тогда друг на друга накладываются тренд и колебания, имеющие постоянную амплитуду. Как мы увидим ниже, такой случай является основой модели цикла конъюнктуры в капиталистической экономике (или по крайней мере определенной фазы ее развития).

Устойчивость, а также монотонный или колебательный характер динамики системы определяется собственным элементом уравнения реакции системы. Питаемый же элемент определяет состояние равновесия системы. Однако оба они взаимосвязаны. Оказывается, что между характеристическими корнями Xj в собственном элементе и операторами S и R в питаемом элементе существует определенная зависимость. Эта зависимость существует потому, что питаемый элемент y(t) выражает реакцию системы на «питание» (состояние входа) x(t). Различные системы по-разному реагируют на одно и то же «питание», ибо реакция зависит .от свойств системні, то есть от ее «собственных признаков». От этих же «собствен- ных признаков» зависят и характеристические корни, а следовательно, и собственный элемент решения уравнения реакции системы.

Зависимость между операторами S и R и характеристическими корнями Xj определяется следующим образом. Выше мы видели что основную формулу теории регулирования можно представить в виде бесконечного ряда:

у (0 = [1 + (SR) + (SRf + ... ] Sx (і).

Этот ряд выражает функцию выхода y(t) в ее зависимости от функции входа x(t). Та же зависимость выражает решение уравнения реакции системы, записанное в виде (5.18), а именно:

у V)=2 ъ WеЧ + х <*>•

}

Первое слагаемое сходится к состоянию равновесия y{t) = x{t), если |5/?|<1, где |5/2|есть

верхняя грань jу в рассматриваемом временном

интервале t. Второе слагаемое при t-+oo сходится к этому же состоянию равновесия, если для всех характеристических корней reXj<0.-Следовательно, условие устойчивости :тХ$<.0 эквивалентно рассмотренному выше условию устойчивости |5/?|<1, где \SR\ определяется как верхняя грань абсолютного значения пропускной способности в интервале (*о, оо)з.

Определенному таким образом абсолютному значению соответствует

Л/ + 1

Это преобразование, которое переводит круг радиусом 1 в комплексной плоскости р на левую комплексную

полуплоскость % и, наоборот. Это преобразование имеет то свойство, что |pj|<l тогда и только тогда, когда rekj<0 1. Таким образом, каждому корню с отрицательной действительной частью соответствует абсолютное значение | pj | = I SR | < L Условие устойчивости системы, вытекающее из решения уравнения реакции системы, оказывается идентичным условию устойчивости, вытекающему из разложения в бесконечный ряд коэффициента обратной связи ^ =

= 1 + (SR) + (S/?)2 + ... в основной формуле теории регулирования.

<< | >>
Источник: О. Ланге. ВВЕДЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКУЮ КИБЕРНЕТИКУ. Перевод с польского. Издательство "ПРОГРЕСС" Москва. 1968. 1968

Еще по теме § 1. УРАВНЕНИЕ РЕАКЦИИ СИСТЕМЫ:

  1. 1.1 Математическое описание динамических систем
  2. Механические системы
  3. 2. Модель активной системы и общая постановка задачи управления
  4. 8.6.6. Математическое моделирование в экологии
  5. Предисловие автора
  6. § 4. ПРИМЕР: ПРОБЛЕМА РЕАКЦИИ НА СТИМУЛЫ
  7. § 1. УРАВНЕНИЕ РЕАКЦИИ СИСТЕМЫ
  8. § 3. ПРИМЕР: МОДЕЛЬ КОНЪЮНКТУРНОГО ЦИКЛА ПО М. КАЛЕЦКОМУ
  9. § 4. КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ И НАДЕЖНОСТЬ ДЕЙСТВИЯ СИСТЕМЫ
  10.   2.3.2. Концептуальные системы химии и их эволюция Что понимается под концептуальными системами  
  11. 1 МЕТОДЫ ЭМПИРИЧЕСКОГО ПОЗНАНИЯ
  12. ПОЗНАНИЕ В СУДЕБНОЙ МЕДИЦИНЕ (система методов познания)