Физические и математические аспекты теплопроводности

В основе теории теплопроводности лежит классическое уравнение теплопроводности, являющееся дифференциальным уравнением в частных производных математической физики [1-6]. Как было показано еще Леонардом Эйлером [1], любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными может быть приведено (соответствующей заменой переменных) к одному из трех типов: эллиптическому, гиперболическому и параболическому.

Первый тип уравнений возникает в физических задачах при изучении стационарных явлений, все переменные являются пространственными координатами. Второй и третий - при изучении процессов, протекающих во времени, причём переменной, играющей особую роль в уравнении, является время. Простейшим примером уравнения эллиптического типа является уравнение Лапласа (например, данным уравнением описываются стационарное электрическое и температурное поля); уравнением гиперболического типа - волновое уравнение; уравнением параболического типа - уравнение теплопроводности.

При решении конкретной задачи математической физики основную роль играют дополнительным условиям. Различают начальные и граничные (краевые) условия, в соответствии с которыми задачи математической физики разделены на три основных типа:

1. задаются только начальные условия (задача Коши);

2. задаются граничные условия на всей области пространства всех независимых переменных, а решение ищется внутри этой области (краевая задача);

3. граничные условия задаются на боковой поверхности полубесконечного цилиндра, а начальные на его основании (смешанная задача).

Поскольку решение физической задачи должно описывать вполне определенный единственный процесс, то существует понятие корректности при постановке задачи. Так, задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво относительно начальных и граничных данных.

Строго доказано только то [2], что задача Коши для уравнений эллиптического типа не корректна, также как для уравнений гиперболического и параболического типа некорректной является краевая задача. Следовательно, в физических задачах они ставиться не должны, поскольку в реальном эксперименте возникнуть не могут.

Задание дополнительных условий на практике определяется условиями физического процесса, особенностями проводимого эксперимента, в простых случаях общими физическими соображениями.

В задачах теплопроводности начальное условие отражает всю предшествующую тепловую историю тела, т.е. дальнейший отсчет времени ведется от этого момента [7]. Для дальнейшего хода изменения температур совершенно не играет роли, каким именно образом система пришла к заданному тепловому состоянию. Но дальнейший ход температуры может быть только один. При этом, чем больше времени проходит от начального момента, тем меньше начальное условие влияет на тепловое состояние тела. При неточном задании начального условия ошибка конечного результата расчета будет определяться граничными условиями [7]. Возможно два варианта.

1. Граничные условия таковы, что с течением времени температура в теле стремиться к постоянной величине или испытывает периодические колебания, тогда с увеличением времени ошибка результатов расчета уменьшается по абсолютной величине. Как показано авторами [8], при

периодическом изменении температуры поверхности, после выхода на установившийся режим, начальное условие полностью перестает оказывать влияние на решение (данный член исчезает). Установившиеся колебания температуры определяются периодом (частотой) изменения температуры.

2. Граничные условия вызывают монотонное, не имеющее конечного предела изменение температуры всех точек тела, тогда абсолютная величина ошибки будет оставаться равной первоначальной.

В общем случае принято различать граничные условия [7, 8]:

I рода - известна температура поверхности тела;

II рода - задана интенсивность теплового потока извне в тело; в этом случае согласно основному закону теплопроводности тепловой поток (W)равен:

где к - коэффициент теплопроводности тела, Θ- температура, х - координата;

III рода - задана температура среды ($), омывающей тело и закон теплообмена между средой и телом; здесь тепловой поток прямо пропорционален разности температур среды и поверхности тела:

IV рода - тело находится в соприкосновении с другим телом, имеющим иные теплофизические характеристики. Контакт должен быть хорошим, что бы имело место равенство температур на граничащих поверхностях тел:

Уравнение теплового баланса на границе в данном случае имеет вид:

Следует отметить, что все уравнения теплового баланса в граничных условиях (1.1), (1.2) и (1.4) содержат интенсивность теплового потока,

отводимого от поверхности в глубь тела. Различие состоит в математической формулировке отражающей способ поступления тепла к телу.

Кроме отмеченных выше начальных и граничных условий при решении задачи теплопроводности в физике требуется также знать геометрические размеры и форму тела; наличие, интенсивность и местоположение внутренних источников тепла; теплофизические характеристики материала.

Перечисленные условия однозначно определяют закон изменения температуры в теле.

Источники тепла характеризуются интенсивностью (мощностью) или температурой. Причем, если внешние источники могут характеризоваться обоими способами, то внутренние источники - только мощностью [7].

Необходимо отметить, что, не смотря на достаточно подробную разработку методов расчета различных задач теплопроводности [7-10], распространение температурных волн в веществе рассмотрено значительно в меньшей степени. Если исключить рассмотрение общих математических подходов к описанию тепловых волн, например [11], то на настоящий момент полностью решены только задача распространения температурной волны в полуограниченном массиве (для сезонных колебаний температуры в земной коре) [9, 10], и в длинном металлическом стержне малого сечения [8].

На настоящий момент общепринятой теорией распространения тепла является закон Фурье [7-10, 12], в основу которого положена пропорциональность вектора плотности теплового потока Wи градиента температуры:

Коэффициентом пропорциональности (k)служит коэффициент теплопроводности, который, по сути, является физической характеристикой среды. Подобно другим характеристикам (теплоемкости, электрического сопротивления, модуля упругости и др.) он зависит от температуры и локального состояния среды.

В данном подходе дифференциальное уравнение теплопроводности является математическим выражением закона сохранение энергии в твердом веществе, которое в общем случае допускает возможность генерирование энергии (q_V)внутри материала (внутренние источники тепла):

Здесь с - удельная теплоемкость, р - плотность. При выводе этого уравнения величины k, cи р считаются постоянными. В отсутствии внутренних источников тепла (q_V = 0), из (1.6) получается уравнение теплопроводности Фурье, коэффициент а в котором получил название коэффициента температуропроводности (или коэффициента тепловой диффузии).

Закон Фурье неявно предполагает, бесконечно большую скорость распространения теплоты [9, 12]. Для стационарных процессов, встречающихся, например, в металлургической практике [9, 10] такое допущение позволяет проводить соответствующие расчеты с допустимой погрешностью.

В то же время при рассмотрении волновых процессов теплопроводности [12] такой подход может привести к серьезным погрешностям. Авторы [12] в частности отмечают, что если при подходе разработанном Фурье основными параметрами являются теплофизические характеристики вещества, то, для учета конечности скорости распространения температурных волн в веществе, необходимо использовать подход, предложенный Риманом. В данном подходе характеристикой распространение тепла в веществе является скорость температурной волны и ее дисперсия.

Рассмотрим прохождение температурной волны в полуограниченное тело [10]. В случае если температура поверхности (Θ_woβ) испытывает простое гармоническое колебание относительно некоторой средней величины (Θ_cp) выражаемое законом его амплитуда, температура тела в момент времени tна расстоянии xот поверхности определяется уравнением:

Максимальная амплитуда колебания в теле (Θ_max) зависит как расстояния от поверхности (глубины прохождения температурной волны) так и от частоты колебания температуры на его поверхности:

Она уменьшается по экспоненциальному закону по мере удаления от поверхности (рис.1.1 и 1.2).

Рис. 1.1. Колебания температуры в полуограниченном массиве [10]. Кривая 1

13

Рис.1.2. Зависимость колебаний температуры от расстояния до поверхности и момента времени [10]. Кривая 1 - амплитуда колебаний, расчет по (1.9); 2 -

Как видно из уравнения (1.9), высоко частные колебания затухают сильнее, чем низкочастотные. Скорость температурной волны (и) определяется уравнением:

т.е. она пропорциональна коэффициенту температуропроводности материала и частоте температурных колебаний.