Уравнение теплопроводности
Рассмотрим некоторый объем V заполненный веществом и ограниченный поверхностью S. Обозначим через ρ плотность вещества в данном объеме, через С – его теплоемкость. И пусть в объеме за счет некоторых источников выделяется тепло, при этом через q обозначим количество тепла, которое выделяется в единице объема в единицу времени.
Общее количество тепла, которое выделится в единицу времени в данном объеме, будет равняться
, это количество тепла Q пойдет на нагрев тела. Обозначим Q1 – количество тепла, которое идет на нагрев тела в единицу времени и на теплоотдачу к внешней среде через границу тела. Q2 – количество тепла, которое уходит (а может наоборот приходит) через границу тела в единицу времени. Тогда можно записать закон сохранения тепла Q=Q1+Q2. Количество тепла, которое содержится в единице объема равно ρСT (C – теплоемкость единицы массы). Тогда в объеме dV будет содержаться количество тепла равное ρСTdV. Изменение этого количества тепла за время dt будет равно [ρСT(t+dt)- ρСT(t)]dV. Поделив на dt, получим изменение количества тепла в объеме dV в единицу времени: 
.
Переходя к пределу при dt→0, и учитывая, что температура зависит не только от времени, но и от координат, получим 
. Интегрируя по всему объему, найдем количество тепла, которое тратится на нагрев тела в единицу времени 
.
Согласно закону Фурье для теплоотдачи (открытому на самом деле Ньютоном) через единицу поверхности с нормалью 
в единицу времени проходит количество тепла равное 
, где производная берется в направлении нормали к телу. Тогда через единицу поверхности dS в единицу времени теряется количество тепла равное 
.
.
Выражая проекцию 
через градиент 
, величину Q2 будем записывать в виде 
.
Используя закон сохранения тепла и подставляя в него величины Q1 и Q2, получим закон сохранения тепла в интегральной форме:
.
Для получения д. у. преобразуем второй интеграл по формуле Остроградского-Гаусса к интегралу по объему 
:
Собирая все интегралы в левой части запишем
, откуда получаем
Уравнение теплопроводности
(2)
Так как 
(есть вектор с компонентами), то в декартовой системе координат:
.
Если λ является константой, то ее можно вынести из под знака производной, а, поделив результат на Cρ, придем к выражению:
- коэффициент температуропроводности (квадрат пишут, чтобы подчеркнуть, что это положительная величина).
λ – коэффициент теплопроводности.
Уравнение теплопроводности также описывает многочисленные физические процессы. Ему подчиняется диффузия концентрации, распределение вероятности нахождения частицы в классической квантовой механике, размножение колоний микробов и т. д.