Уравнение теплопроводности

Рассмотрим некоторый объем V заполненный веществом и ограниченный поверхностью S. Обозначим через ρ плотность вещества в данном объеме, через С – его теплоемкость. И пусть в объеме за счет некоторых источников выделяется тепло, при этом через q обозначим количество тепла, которое выделяется в единице объема в единицу времени.

Обозначим Q₁ – количество тепла, которое идет на нагрев тела в единицу времени и на теплоотдачу к внешней среде через границу тела. Q₂ – количество тепла, которое уходит (а может наоборот приходит) через границу тела в единицу времени. Тогда можно записать закон сохранения тепла Q=Q₁+Q₂. Количество тепла, которое содержится в единице объема равно ρСT (C – теплоемкость единицы массы). Тогда в объеме dV будет содержаться количество тепла равное ρСTdV. Изменение этого количества тепла за время dt будет равно [ρСT(t+dt)- ρСT(t)]dV. Поделив на dt, получим изменение количества тепла в объеме dV в единицу времени: .

Переходя к пределу при dt→0, и учитывая, что температура зависит не только от времени, но и от координат, получим . Интегрируя по всему объему, найдем количество тепла, которое тратится на нагрев тела в единицу времени .

Согласно закону Фурье для теплоотдачи (открытому на самом деле Ньютоном) через единицу поверхности с нормалью в единицу времени проходит количество тепла равное , где производная берется в направлении нормали к телу. Тогда через единицу поверхности dS в единицу времени теряется количество тепла равное .

.

Выражая проекцию через градиент , величину Q₂ будем записывать в виде .

Используя закон сохранения тепла и подставляя в него величины Q₁ и Q₂, получим закон сохранения тепла в интегральной форме:

.

Для получения д. у. преобразуем второй интеграл по формуле Остроградского-Гаусса к интегралу по объему :

Собирая все интегралы в левой части запишем

, откуда получаем

Уравнение теплопроводности

(2)

Так как (есть вектор с компонентами), то в декартовой системе координат:

.

Если λ является константой, то ее можно вынести из под знака производной, а, поделив результат на Cρ, придем к выражению:

- коэффициент температуропроводности (квадрат пишут, чтобы подчеркнуть, что это положительная величина).

λ – коэффициент теплопроводности.

Уравнение теплопроводности также описывает многочисленные физические процессы. Ему подчиняется диффузия концентрации, распределение вероятности нахождения частицы в классической квантовой механике, размножение колоний микробов и т. д.