Уравнение Лапласа
Будем выводить его неправильно, так, как выводил его сам Лаплас:
Ньютон вывел закон всемирного тяготения 
(
на единицу массы).
, где r – расстояние между точкой с координатами (x0,y0,z0) где расположена масса M, и точкой наблюдения с координатами (x,y,z). 
. Далее Лаплас нашел, что с помощью этой субстанции можно вычислить проекции силы 
, если вычислять ее по формуле 
, 
, 
точно также запишем
, 
.
В дальнейшем Лаплас предложил пользоваться не самим выражением для потенциала, а тем дифференциальным уравнением, которому оно удовлетворяет.
Получим это д. у.:Вычислим сначала вторую производную от потенциала по x:
, аналогично
, 
.
Складывая эти три частные производные, получаем уравнение Лапласа
(1)
Исторически это было первое уравнение с частными производными полученное математиками. Хотя уравнение Лапласа было получено для потенциала тяготения, оно описывает распределение большого количества совершенно различных физических величин, в частности уравнению (1) подчиняется потенциал электростатического поля, безвихревого течения идеальной жидкости, стационарное распределение концентрации в диффузионном поле или распределение температур.
В двухмерном случае уравнение Лапласа принимает вид
тогда говорят о плоской постановке задачи.
Еще по теме Уравнение Лапласа:
- Уравнение Лапласа.
- 21.Задача Дирехле для уравнения Лапласа в прямоугольнике.
- 20) Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге (кольце, вне круга, секторе круга или кольца).
- Функция Лапласа.
- 2.3 Критерий Лапласа (Бернулли)
- Операционное исчисление. Преобразование Лапласа.
- Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
- 3. Уравнения, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными.
- 10.3. Теорема Лапласа.
- Свойства преобразования Лапласа:
- 2o. Критерий Байеса – Лапласа.
- Теорема обращения преобразования Лапласа.
- Обобщенно-консервативные системы. Уравнения Уиттекера. Уравнения Якоби.
- 17) Метод Фурье решения начально-краевых задач для однородного волнового уравнения (уравнение теплопроводности) с однородными краевыми условиями.
- Глава 1. Уравнения, системы уравнений.