Общий подход к расчету формы пироотклика

Согласно уравнению (2.3) для грамотного анализа пироотклика необходимо знать распределение температурных полей в образце.

В работе рассматривается случай, когда нагрев образца осуществляется прямоугольно модулированным тепловым потоком.

При отсутствии внутри твердого тела источников тепла изменение его температуры может происходить только за счет внешних источников, воздействующих на одну из поверхностей. Если воздействие источников является периодическим, то можно говорить о температурной волне, которая будет распространяться от поверхности вглубь тела. В случае гармонического колебания температуры эти колебания описываются по закону косинуса (или синуса), а в общем виде - по экспоненциальному закону [103], т.е. формально волна представляется комплексной функцией, но физический смысл имеет только действительная часть [8-10, 103], поэтому при расчетах необходимо брать действительную компоненту. Прямоугольную тепловую волну, падающую на образец, математически удобно представить в виде ряда Фурье [8, 10, 127]. В любом случае колебания температуры на граничной поверхности твердого тела распространяются вглубь среды в виде быстро затухающих температурных волн.

Распределение температуры в образце, как было показано в п.1.1 находится из решения общего уравнения теплопроводности. Для одномерного случая оно имеет вид:

где Θ - изменение температуры в образце, х - координата, t- текущее время, а

- коэффициент тепловой диффузии (температуропроводности), с учетом граничных условий:

Здесь к - коэффициент теплопроводности, d- толщина образца, зависимость мощности падающего на образец прямоугольно модулированного теплового потока от времени [127], τ_m- период модуляции теплового потока, τ

- длительность светового промежуткациклическая

частота, W_o- плотность теплового потока.

Не смотря на то, что условие корректности в постановке задач математической физики [2] требует для решений уравнения теплопроводности наличия как граничных, так и начальных условий, в установившемся режиме (при t → ∞) соответствующее слагаемое, обусловленное заданием начальных условий, исчезает [8]. В результате распределение температуры в образце толщиной dимеет вид [127]:

Среднее по периоду изменение температуры в образце в данном случае определяется по формуле:

51

Расчет температурного поля в образце сегнетоэлектрика (при &=0,63Дж/(м-с-К) и α=2,7∙10^-7м²/с, d=0,7 мм), проведенный для разных плотностей теплового потока (рис. 2.9) по формуле (2.8), показывает, что при облучении кристалла модулированным тепловым потоком в образце существует постоянный градиент температуры, направленный из глубины к поверхности, зависящий только от мощности падающего излучения.

В то же время усреднение по всему периоду не учитывает переменной составляющей (первое слагаемое уравнения (2.7)); для его учета интеграл нужно брать только по полупериоду, тогда:

Пределы интегрирования в (2.9) берутся от -т/2 до т/2, поскольку в разложении Фурье, используемом для Θ(x,t)световой промежуток симметричен относительно начала координат [136]. Расчеты по формуле (2.9) показывают, что переменная составляющая температурной волны, являющаяся определяющей при расчете пирокоэффициента, зависит не только от мощности теплового потока, но и от частоты (рис. 2.10).

Поскольку в любой момент времени распределение температуры в теле имеет форму волны, амплитуда которой уменьшается с глубиной, это означает, что температурная волна проникает в среду только на определенное расстояние, называемое глубиной проникновения температурной волны.

52

В технике в роли такого критерия выступает величина 0,01 (т.е. 1% от начального амплитудного значения) [9, 10]. В то же время колебания температуры на определенной глубине от поверхности происходят в противофазе с колебаниями на поверхности тела [8-10], что хорошо видно из рисунка 2.10.

Рис. 2.9. Распределение температуры по толщине образца при воздействии на него тепловых потоков плотностью: 20 (1), 50 (2), 100 (3) и 200 (4) мВт/см²

Рис. 2.10. Зависимость переменной составляющей колебаний температуры от глубины проникновения температурной волны в образец. Ж₀=100 мВт/ см². f= 1 Гц (кривая 1), 10 Гц - (кривая 2) и 100 Гц (кривая 3). За ноль по шкале температуры принято среднее значение температуры в образце, показанное на рис. 2.9

Решая уравнение (2.3) с учетом выражения для температурной волны при прямоугольной модуляции теплового потока (2.7) получаем для пироотклика при однородном распределении поляризации в образце [127]: где с= к/а - теплоемкость единицы объема, S'- площадь поверхности образца.

Данная формула отличается от выражения (2.6) для мощности теплового потока, падающего на образец только отсутствием постоянной составляющей и численным коэффициентом, стоящим перед суммой. Т.е. в обоих случаях присутствует представление прямоугольника в виде ряда Фурье. Это означает, что, согласно (2.11), пироотклик однородно поляризованного образца сегнетоэлектрика должен иметь прямоугольную форму при любой частоте модуляции теплового потока, падающего на образец.

2.3.