Момент силы относительно материальной точки

Повседневный опыт показывает, что при вращении какого-либо тела при помощи рычага (например, при затягивании болта гаечным ключом) существенным оказывается не только модуль силы, но и длина рычага.

Момент силы (крутящий момент; вращательный момент; вертящий момент; вращающий момент) характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние до оси вращения рычага, есть момент силы. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу, расстояние, до оси вращения которого 2 метра, это то же самое, что 1 ньютон, приложенный к рычагу, расстояние, до оси вращения которого 6 метров. Моментом силы относительно точки О называется вектор М, модуль которого равен произведению модуля силы F на ее плечо l, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы (рис. 1):

(1)

, (2)

где – радиус-вектор точки приложения силы, проведенный из точки, относительно которой определяется момент.

Рис. 1

Плечом силы называют длину перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила. Направлен вектор М перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и точка О, причем так, что направление вращения, обусловленного силой, и направление вектора М образуют правовинтовую систему, т.е. направление момента силы можно определить по правилу правовинтового буравчика. Острие буравчика располагаем в начало векторов и (после продления ) параллельно плоскости.

(3)

Когда сила приложена к одной из точек твердого тела, вектор М характеризует способность сила вращать тело вокруг точки О, относительно которой он берется. Поэтому момент силы называют также вращающим моментом. Если тело может вращаться вокруг точки О произвольным образом, то под действием силы тело повернется вокруг оси, совпадающей с направлением вращающего момента.

Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называют парой сил (рис. 2). Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары. Суммарный момент сил относительно точки О равен

(4)

Рис. 2

Учитывая, = - , можно записать

, (5)

где = (рис. 2). Полученное выражение не зависит от положения точки О. Следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет одним и тем же. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, а его модуль равен произведению модуля любой из сил на плечо.

Силы гравитационного и кулоновского взаимодействия между двумя частицами образуют пару с плечом, равным нулю. Поэтому их суммарный момент относительно любой точки равен нулю. Отсюда следует, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю:

(6)