Момент импульса материальной точки

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы «играет» момент инерции.

Моментом импульса (количества движения, кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Векторная величина, вызывающая вращательное движение тела (материальной точки), зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — скалярная величина.

(1),

где – радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки О, а – импульс частицы. – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

(2),

где α – угол между векторами и , можно представить в виде произведения плеча l импульса на модуль вектора (рис.

(3)

Рисунок 1.

Выясним, от чего зависит изменение момента импульса частицы. С этой целью продифференцируем выражение (1) по времени:

(4)

(4)

Это выражение – еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Согласно второму закону Ньютона – результирующей сил, действующих на частицу. По определению , поэтому можно написать,

(5)

Второе слагаемое является векторным произведением коллинеарных векторов и поэтому равно нулю. Первое слагаемое представляет собой момент силы относительно той же точки, относительно которой взят момент импульса . Следовательно, мы приходим к соотношению

(6),

согласно которому скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу.

Рассмотрим систему частиц, на которые действуют как внутренние, так и внешние силы. Моментом импульса системы относительно точки О называется сумма моментов импульса отдельных частиц:

.

Дифференцирование по времени дает, что

(8)

В соответствии с (6) для каждой из частиц можно написать равенство:

(9),

где – момент внутренних сил, а – момент внешних сил, действующих на i-ю частицу. Подстановка этих равенств в (8) приводит к соотношению

(10)

Каждое из этих слагаемых в этих суммах представляет собой сумму моментов сил, действующих на i-ю частицу. Суммирование осуществляется по частицам. Если перейти к суммированию по отдельным силам, независимо от того к какой из частиц они приложены, индекс i можно опустить.

Так как суммарный момент внутренних сил равен нулю, окончательно получаем, что

(11)

Если система замкнута (т.е. внешних сил нет), правая часть равенства (11) равна нулю и, следовательно, вектор не изменяется со временем. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит: момент импульса замкнутой системы материальных точек сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Разумеется, будет оставаться постоянным и момент импульса замкнутой системы относительно любой оси, проходящей через точку О. Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов внешних сил равна нулю.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).