Момент инерции материальной точки
При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции.
Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
Характеризует инертные свойства материальной точки (способность тела приобретать ускорение) при вращении вокруг выбранной оси. Момент инерции равен сумме произведений масс n материальных точек системы на фиксированные квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. В СИ
.Различают несколько моментов инерции - в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.
, (1)
где mi — масса i-й точки, ri — расстояние от i-й точки до оси.
Момент импульса
Значит можно сделать вывод о том, что:
(2)
От чего же зависит момент инерции?
(3)
Итак, мы вывели основной закон динамики вращательного движения для материальной точки относительно выбранной оси:
(4)
Однако момент инерции существует безотносительно к вращению. Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо, движется оно или находится в покое.
Проинтегрируем формулу (1):
(5)
Учитывая, что 
, получим:
, (6)
где ρ – плотность тела в точке, в которой взят объем dv, r – расстояние этого объема от оси, относительно которой вычисляется момент.
Если тело однородно, плотность ρ во всех его точках одинакова и ее можно вынести за знак интеграла
(7)
Вычисление этого интеграла, а также предыдущего интеграла, представляет собой, вообще говоря, очень сложную задачу. Дело значительно упрощается в случае однородных осесимметричных тел.
Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей.
Предполагается, что эти оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекает ее в точках О и А.Разобьем мысленно тело на элементарные массы dm. Радиус-векторы одной из них, проведенные от осей О и А параллельно плоскости рисунка, обозначим r и r’ соответственно (на рис. 2 изображен такой случай, когда элементарная масса dm лежит в плоскости рисунка). Тогда r = r’ – а, где а означает радиус-вектор ОА. Следовательно, r,2 = r2 + а2 – 2(аr),
(8)
Рис. 2
Интеграл слева есть момент инерции IA тела относительно оси А, первый интеграл справа – момент инерции относительно оси О. Последний интеграл можно представить в виде ∫rdm = mRс, где Rс – радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О (точнее, Rс есть слагающая радиус-вектора центра масс, параллельная плоскости рисунка). Таким образом,
(9)
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. Тогда Rс = 0, и предыдущая формула упрощается, принимая вид
(10)
Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Гюйгенса-Штейнера (Якоб Штейнер (1796-1863) – швейцарский геометр). Момент инерции тела 
относительно произвольной оси равен сумме момента инерции 
относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы 
тела на квадрат расстояния 
между осями.
Для симметричных тел:
(11)