Момент инерции материальной точки

При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Различают несколько моментов инерции - в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

, (1)

где mi — масса i-й точки, ri — расстояние от i-й точки до оси.

Момент импульса

Значит можно сделать вывод о том, что:

(2)

От чего же зависит момент инерции?

(3)

Итак, мы вывели основной закон динамики вращательного движения для материальной точки относительно выбранной оси:

(4)

Однако момент инерции существует безотносительно к вращению. Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо, движется оно или находится в покое.

Проинтегрируем формулу (1):

(5)

Учитывая, что , получим:

, (6)

где ρ – плотность тела в точке, в которой взят объем dv, r – расстояние этого объема от оси, относительно которой вычисляется момент.

Если тело однородно, плотность ρ во всех его точках одинакова и ее можно вынести за знак интеграла

(7)

Вычисление этого интеграла, а также предыдущего интеграла, представляет собой, вообще говоря, очень сложную задачу. Дело значительно упрощается в случае однородных осесимметричных тел.

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей.

Разобьем мысленно тело на элементарные массы dm. Радиус-векторы одной из них, проведенные от осей О и А параллельно плоскости рисунка, обозначим r и r’ соответственно (на рис. 2 изображен такой случай, когда элементарная масса dm лежит в плоскости рисунка). Тогда r = r’ – а, где а означает радиус-вектор ОА. Следовательно, r,2 = r2 + а2 – 2(аr),

(8)

Рис. 2

Интеграл слева есть момент инерции IA тела относительно оси А, первый интеграл справа – момент инерции относительно оси О. Последний интеграл можно представить в виде ∫rdm = mRс, где Rс – радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О (точнее, Rс есть слагающая радиус-вектора центра масс, параллельная плоскости рисунка). Таким образом,

(9)

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. Тогда Rс = 0, и предыдущая формула упрощается, принимая вид

(10)

Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Гюйгенса-Штейнера (Якоб Штейнер (1796-1863) – швейцарский геометр). Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для симметричных тел:

(11)