Вычисление моментов инерции АТТ

Пример 1

Найдем момент инерции бесконечно круглого тонкого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 1), очевидно, равен

, (1)

где R – радиус кольца.

Формула (1), очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Рис. 1

Пример 2

Найдем момент инерции бесконечно тонкого диска. Предпола­гается, что диск однородный, т.е. вещество распределено в нем с постоян­ной плотностью. Пусть ось Z, проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 2). Рассмотрим бесконечно тонкое с внутренним радиусом r и наружным радиусом r+dr . Площадь такого кольца . Его момент инер­ции найдется по формуле IZ = mR2. Момент инерции всего диска определяется интегралом . Ввиду однородности диска , где - площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

(2)

Момент инерции относительно диаметра вдвое меньше, как это непосредственно следует из формулы Ix + Iy = Iz , и из соображения симметрии:

(3)

Рис. 2

Пример 3

Найдем момент инерции однородного цилиндра относительно его геометрической оси ОО.

(4)

Проинтегрировав это выражение по R в пределах от 0 до r (r – радиус цилиндра), получим искомый момент инерции:

(5),

где - масса цилиндра. Отметим, что полученное выражение не зависит от высоты цилиндра h. Следовательно, формула (5) определяет и момент инерции тонкого диска относительно перпендикулярной к нему проходящей через его центр оси.

Пример 4

Найдем момент инерции однородной тонкой палочки (прямого тонкого стержня) длиной l относительно центра. Разобьем палочку на одинаковые массы равные dm, возьмем dm, которая будет размещаться на отрезке dx. В формулу можем подставить равные отношения

, (6)

тогда получим . Интегрируем выражение.

. (7)

Используя теорму Гюйгенса-Штейнера найдем момент инерции однородной палочки, если ось перпендикулярна и проходит через ее конец:

(8)

Введем понятие Тензор инерции – матрица, в которой по диагонали располагаются моменты инерции АТТ (для симметричных тел)

(9)

На месте Izz записывается максимальное значение момента инерции АТТ.

Разберемся на примере момента инерции кольца.

Если все 3 главных момента инерции равны, т.е. , то тело называется сферическим волчком (шар, сфера…).

Если - симметричный волчок (кольцо, диск, цилиндр, конус…).

Если - несимметричный волчок (параллелепипед).

Тензор инерции цилиндра .

Приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела).

Таблица 1.Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей