<<
>>

2.3 Дисперсионный анализ.

Рассмотрим задачу выявления и оценки степени влияния некоторого фактора А на изменчивость случайной величины X. Требуется выяснить, является ли влияние фактора на эту величину существенным.
Фактор А при этом обычно считается нечисловым катетеризованным или числовым, принимающим небольшое число значений. Его градации принято называть уровнями. Пусть нам заранее известна дисперсия DoX величины X, и мы име- X

D

значимо отличается от D0X. Ести же DX > D0X, то следует признать существенный характер влияния. Вообще говоря,

DX = D0X + DAX,

где через DAX обозначена часть дисперсии, объясняемая влиянием фактора А. Если же исследуемых факторов несколько, то

DX = DoX + DAX + DB X + DA,B X + ...

Идея оценки влияния факторов основана на изучении доли дисперсии, которая объясняется через изучаемый фактор.

Основные предположения, необходимые для применения описываемого далее аппарата:

1. выборки нормально распределены;

X

X

личия незначимы.

Основная задача при решении общей проблемы дисперсионного анализа - выделить небольшое чисто факторов, существенно влияющих на изменчивость наблюдаемой величины, а затем оценить влияние каждого из них. Первый этап задачи - оценка общего влияния группы факторов, второй - частного (парциального) влияния каждого из факторов группы.

Выделяются следующие разновидности дисперсионного анализа: по числу факторов влияния; по количеству градаций (уровней) изменения изуча-емых факторов, например, 3- или 2-х уровневый; по наличию или отсутствию повторных (параллельных) испытаний. Различают также полный и дробный, т.е. содержащий пропущенные уровни при испытаниях, дисперсионный анализ.

Рассмотрим подробнее полный однофакторный дисперсионный анализ с параллельными испытаниями. Исходные данные собраны в таблицу. Пред-полагается, что па каждом из m уровней фактора поставлено по n параллельных испытаний, в которых наблюдалось X i

дплся на j-м уровне, обозначены xi,j.

1 / 10 1 10 110 — / Xj = / / :

т < J J п т < J < J Испытание Уровни A1 A

m 1 X1,1 X1,m n Xn, 1 Xn,m средние X1 Xm Объем выборки здесь, таким образом, равен N = nm.

Обозначим X

3=1

i=1 3=1

Нетрудно заметить, что

ЕЕ - xX)2 = ЕЕ - Xj)2 + nЕ (Xj - X)2.

3=1i=l

3=1

3=1i=l

Обозначим левую часть этого равенства через Q, двойную сумму в правой части через Qo, а второе слагаемое справа без множителя n через QA- При этом Q интерпретируется как общая изменчивость X, Qo как сумма измен- чивостей внутри уровней, A QA как изменчивость X между уровнями, т.е. при переходе от уровня к уровню.

Таким образом, можно записать

2

= 1 Xi,3 i=1 Xi,3 )

1,3 2

Q = ? !Т=іЕ

n i=1

2

n X. .)2 - 1 I V

= 1 Xi,3J N \ = 1 Z^

n

Qo = ? 7=1 ?n

QA = n J2m=1 (?

2

7 En 42

- 1 V

n t—i3=1

3=1

= 1 "^J

Определим

N- 1'

F

Do

Da

nDA + Do Do

Qo

QA N - 1'

F

ческой точкой распределения Фишера с m — 1, m(n- 1) степенями свободы. Если критическое значение не превзойдено, следует принять гипотезу об отсутствии значимого влияния фактора A та величину X.

Пример. Сравнить три метода преподавания (использование различного наглядного материала для обучения). Результаты тестирования в трех группах учеников по 15 человек в баллах, а также некоторые промежуточные расчетные характеристики и их обозначения приводятся в таблице.

N

Вычислим по таблице z = (S1 + S2 + $з)/15 = 7539,0. Теперь мы готовы привести основные результаты дисперсионного анализа:

.2

• Факторна вариативность QA = z — N = 89,2, DA = 2,03.

учащийся метод 1 метод 2 метод 3 1 9 15 18 2 И 16 14 3 10 15 17 4 12 10 9 5 7 13 14 6 И 14 17 7 12 15 16 8 10 7 15 9 13 13 16 10 И 15 8 11 13 15 14 12 и 14 10 13 10 11 16 14 12 15 15 15 13 10 17 всего суммы Sj 165 198 216 t = 579 суммы квадратов 1853 2706 3242 u = 7801 S? 27225 39204 46656 v = 113085 Случайная вариативность Q0 = u — z = 262,0, D0 = 5, 95.

Общая вариативность Q = u — N = 351,2.

Значение крнтерня F = 6,12.

По таблице распределения Фишера с 2, 42 степенями свободы, находим кри-тическую точку уровня 0,01. Она равна 5,15. Поскольку расчетное значение критерия больше, то следует признать существенность влияния метода применения наглядных материалов на успеваемость учащихся. Более того, определяя долю QA в Q, видим, что примерно треть изменчивости баллов тестирования может быть объяснена через этот фактор.

<< | >>
Источник: ОУНЮА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ в психологии. 2001

Еще по теме 2.3 Дисперсионный анализ.:

- Акмеология - Введение в профессию - Возрастная психология - Гендерная психология - Девиантное поведение - Дифференциальная психология - История психологии - Клиническая психология - Конфликтология - Математические методы в психологии - Методы психологического исследования - Нейропсихология - Основы психологии - Педагогическая психология - Политическая психология - Практическая психология - Психогенетика - Психодиагностика - Психокоррекция - Психологическая помощь - Психологические тесты - Психологический портрет - Психологическое исследование личности - Психологическое консультирование - Психология девиантного поведения - Психология и педагогика - Психология общения - Психология рекламы - Психология труда - Психология управления - Психосоматика - Психотерапия - Психофизиология - Реабилитационная психология - Сексология - Семейная психология - Словари психологических терминов - Социальная психология - Специальная психология - Сравнительная психология, зоопсихология - Экономическая психология - Экспериментальная психология - Экстремальная психология - Этническая психология - Юридическая психология -