2.2 Регрессионный анализ.

Y = aX + в, X = kY + Ь. (2.2)

Параметры а, в, k, Ь подбираются, как правило, из условий

П

S(a, в) = V(Y, - aXj - в)2 ^ min (2.3)

i=1

И

П

T(k, Ь) = ?(X< - kY - Ь)2 ^ min (2.4)

i=i k'b Такой метод подбора коэффициентов называют методом наименьших квадратов. Найденные из условий (2.3 , 2.4) уравнения (2.2) могут быть записаны так:

Y = pS^ (X - X) + У, X = pS^ (Y - У) + X,

SX Sy

где p выборочный коэффициент корреляции, SX, SY - корни квадратные

X, Y

ются уравнениями прямых регрессии.

XY

имеет смысл построить так называемое поле корреляции. Для этого осуществим группировку выборки X на г групп А1,..., Ar, а выборку Y разобьем на s групп B1,..., Bs. Обозначим через Ai}j прямоугольник, проекции которого на оси Ох и Оу совпадают с A, и Bj соответственно. Двумерный вектор с координатами X, Y попадет, таким обр азом, в Aijj тогда и только тогда, когда X Є A, и Y Є Bj. Пусть n1,..., nr количества элементов X в Ai,..., Ar, а mi,..., ms - элементов Y в Bi,..., Bs соответственно. Определим групповые средние

Y(i) = ??{k:Xk Є Лі} Yk , г =!,..., г,

X(j) = mj Т,{к:УкЄБ3} Xk, j = !,..., S.

Далее построим на плоскости Оху ломаные с узлами в точках с координатами (X^Y^)), i = 1, ...,г и (X(j),Yj), j = 1,..., s Напомним, что X, - это середина отрезка Aj, а Yj - середи на Bj. Построенные ломаные называют эмпирическими линиями регрессии, и их можно рассматривать как приближенные графики зависимостей Y от X и X от Y.

Результаты этого раздела позволяют приближенно предсказывать, какое значение будет принимать одна из величин, если значение другой нам известно. Конечно же, речь идет не о точном значении, а лишь об оценке.