2.7 Многомерное шкалирование.
ний). Исследуемые объекты располагаются в рмерном пространстве.
Задача состоит в построении геометрической комбинации точек в q-мерном пространстве (q < p) так, чтобы ранговый порядок расстояний между ними совпадал с определенным в Д1 (если матрица была одна), или наилучшим образом согласовывался со всеми имевшимися матрицами. В последнем случае говорят о шкалировании индивидуальных различий. Эту задачу здесь мы более не будем упоминать.Обычно в задачах многомерного шкалирования используют метод Тор-
Д
рассчитаем ковариационную и корреляционную матрицы оценок расстояний. Введем в рассмотрение различия между г-м и j-м объектами
5i,j = л/1 — Pi,j,
где pi,j - элементы корреляционной матрицы (коэффициенты корреляции).
q
соответствующий раздел). Пусть X0k, г = 1,...p, k = 1,..., q - координаты объектов в главных компонентах. Первоначальные оценки расстояний вычисляем по формуле
dj = - j)2.
d?
Числа J?
,3 образуют стартовую комбинацию метода. Характеристикой качества каждой из рассматриваемых здесь и ниже комбинаций служит так называемый стресс-критерий
S
Si, j № , j - di, j)2 Si ,j 3 j
Рассмотрим далее итерационный процесс, начинающийся со стартовой комбинации.
Сначала расположим все пары (i, j), i, j - 1, ...,p по возрастанию различий ^I,J, параллельно с ними разместив отклонения (,3- В следующем столб-це. Равные отклонения объединяем в блоки (на первом шаге чаще всего каждый из блоков содержит ровно один объект). Первая часть этапа состоит в многократных проходах по столбцу отклонений. Если отклонения в следующем блоке меньше, чем в предыдущем, то объединяем их в один новый блок, заменяя в нем все отклонения на среднее арифметические отклонений по объединяемым блокам. Иначе не меняем ничего. Признаком окончания этой части этапа служит отсутствие изменений при очередном проходе.
Вторая часть этапа состоит в пересчете координат и отклонений по формулам
1
С
(x?,k - xC,k)
- 1E •
р ^3
3c+1 i,k
,5°+1 dc .
Sk (xc+k
®i,j
j,k
- ХС+1)2
Здесь 1 - различия, полученные в процессе выполнения первой части этапа, c - номер этапа.
S
несущественно (меньше выбранного заранее малого числа) - комбинация построена, иначе повторяем описанный выше этап, приняв за исходную построенную комбинацию 1 (не изменяются по отношению к рассчитан-
dc+1 ®i,j '