Энергетические характеристики электрических полей

Поскольку в электрических полях проявляется действие особого рода сил, то по всем законам классической механики, которую в электрических полях никто, кстати, не отменял, эти поля способны производить работу.

Рассмотрим неподвижный точечный заряд Q, расположенный в воздухе и создающий в окрестном пространстве электрическое поле напряжённостью

Е=. 1 Qr

4ns0 r

В поле перемещается пробный заряд q из начального положения 1 в конечное положение 2 вдоль произвольной криволинейной траектории, например I (рис. 1.56). Модуль силы Кулона, возникающей при взаимодействии зарядов, запишется следующим образом

1 qQ

FK = еМ =

4ns0 r

Найдём далее элементарную работу, совершаемую силой Кулона на элементарном перемещении заряда dr

5A = FKdr.

Как видно из уравнения элементарная работа при перемещении точечного заряда в электрическом поле представляется скалярным произведением двух векторных величин, т.е. величина и знак работы зависит, как и в механике, от взаимного направления FK и dr. Работа на конечном перемещении определится в виде интеграла

АТО2

MqQ!d? = qQ г dr.

4ns г r3              4ns0 г r2

-              0              r1

Интеграл работы в общем случае зависит от положения начальной и конечной точек, а так же от формы траектории, по которой перемещается заряд q.

Однако для электрических полей неподвижных зарядов работа не зависит от формы траектории. В этом легко убедится, если из конечной точки 2 вернуть заряд в точку 1 по траектории, отличной от первоначальной.

При перемещении заряда по любой замкнутой траектории, когда r1 = r2 итоговая работа будет равна нулю, т.е.

АТО2 + А2^1 = АТО2 - А2^1 .

Уравнение даёт основание выражение для работы переписать так

4ns„

2 /

v r1

qQ (1              1^

Электрическое поле неподвижных зарядов, таким образом, как и гравитационное поле, обладает свойством потенциальности, т.е. работа, производимая такими полями, не зависит от вида траектории, а определяется только положениями начальной и конечной точек перемещения.

Свойство потенциальности обусловлено тем обстоятельством, что в электростатических полях проявляются консервативные силы, дающие возможность каждую точку поля охарактеризовать с энергетических позиций. Действительно, совершаемая работа должна соответствовать определённому изменению энергии перемещаемого заряда. Подобное наблюдается в механике и определяется теоремой об изменении кинетической энергии

2 2

A1 2 =              =              к2              - K1.

1^2              2              2              21

Работа, совершаемая в электростатическом поле, совершается за счёт уменьшения потенциальной энергии движущегося заряда

А^2 = П2 - П1, 5A = -dn.

Как и в механике, абсолютное значение потенциальной энергии не обладает значимым физическим смыслом, более актуальным является изменение энергии, в связи, с чем необходимо представлять, что при бесконечном удалении зарядов друг от друга потенциальная энергия их взаимодействия будет стремиться к нулю

-л

-1-2

4пєо

А^=П 2-П1 =              =              П1.

V* Г1 У

Проведенные выше рассуждения показывают, что работа, совершаемая электрическими силами, действующими на электрические заряды, пропорциональна его величине.

Влияние поля на заряд, кроме того, пропорционально разности потенциальных энергий, измеряемой совершенной работой. Это означает, что отношение потенциальной энергии к величине заряда будет характерной величиной для каждой точки пространства, занятого электрическим полем.

П q1

Ф =— = —п—.

-2 4ns0r1

В общем случае потенциал электрического поля в данной точке определяется уравнением

Ф = П =              q              .

Ф = — = —-—.

-2 4ПЄ0Г

Сравнение уравнений позволяет прийти к важному выводу: при перемещении заряда из одной точки поля в другую будет производиться работа только в том случае, если потенциалы этих точек не одинаковы, если ф1 Ф ф2.

В системе SI единицей потенциала является вольт

[ф]=И = Дж=М:м = в .

[q] Кл Кл

При решении некоторых задач электростатики использование потенциала даёт ряд преимуществ по сравнению с напряжённостью. Для задания потенциала данной точки поля требуется всего одна величина, вместо трёх проекций вектора напряжённости, кроме того, величина разности потенциалов может быть достаточно просто измерена опытным путём.

Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала.

Силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. На рис. 1.59. приведены эквипотенциальные поверхности точечного заряда, системы двух разноимённых зарядов и системы двух одноимённых зарядов. Эквипотенциали представлены замкнутыми линиями, окружающими заряды, в то время как линии напряжённости электрического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах.

Рис. 1.57. Эквипотенциальные поверхности Приведём далее уравнения потенциалов некоторых простых источников элек-

трических полей:

4nss0r ’

где ф(г ^ да) = 0, r - расстояние от заряда q до точки определения потенциала.

Потенциал поля шара Если заряд Q равномерно распределён по поверхности шара радиусом R, то вне шара при (r gt; R) на расстоянии r потенциал создаваемого шаром поля определится уравнением

1 Q

Потенциал поля точечного заряда ф(г) = . q

4nss0 r

ф(г ) =

Потенциал плоского конденсатора

Плоский конденсатор представляет собой две проводящие пластины, заряженные разноимённо и расположенные на расстоянии d друг от друга. Напряжённость поля между пластинами определяется уравнением

а

где а - поверхностная плотность электрического заряда на пластинах. Разность потенциалов в этом случае определится как

x              x

U = J Edx = —J dx

Е = -

J0 0

ss„

Разность потенциалов между пластинами определится как U0 =— d, в этом

а

U = иЛ

d

а

s„

%

0

s

случае