Магнитное поле движущихся зарядов

Рассматривая в предыдущем разделе проявление электрического тока, было отмечено, что наряду тепловыми и химическими эффектами, электрический ток обозначает своё присутствие возникновением и магнитных явлений.

Перечисленные признаки не равноценны. Так, например, химические превращения напрочь отсутствуют в проводниках, имеющих широкое практическое применение. При низких температурах в тех же проводниках тепловое проявление тока весьма нивелировано. А вот магнитные эффекты сохраняются при любых обстоятельствах, потому что магнитное поле является непременным условием существования любой системы движущихся электрических зарядов.

Рис. 2.1. Магнитное поле: 1 -прямолинейного проводника; 2 - витка с током; 3 - трёх витков с током;

4 - катушки с током

Для распространения магнитного поля, впрочем, так же как и для электрического, не требуется присутствия, какой бы-то ни было среды. Магнитное поле может существовать в пустом пространстве.

Определение сущности магнитного поля принято делать на основе обсуждения его отличительных особенностей от обычного пространства.

На первых порах такие отличия были замечены благодаря своеобразному расположению стальных опилок, насыпанных вблизи проводников, по которым пропускали электрический ток.

Рис. 2.2. Магнитное поле соленоиторда и тороида

На рис. 2.1, 2.2 показаны возникающие линии магнитного поля вблизи проводников различной формы.

Линии магнитного поля прямолинейного проводника образуют концентрические окружности.

на друга, при этом можно счи-

тать, что каждый виток присоединён к источнику тока.

В ходе экспериментов было обнаружено, что неподвижный электрический заряд не взаимодействует с магнитным полем. Между ними не проявляются силы притяжения и отталкивания, однако, если заряд или магнит привести в движение, то между ними тот час же появится сила взаимодействия, стремящаяся вращать их.

Рис. 2.3. Правило определения направления магнитного поля

Сила взаимодействия зависит от относительной скорости перемещения и взаимного направления движения. Вокруг движущихся зарядов возникают замкнутые силовые линии, по отношению к которым векторы возникающих магнитных сил будут направлены по касательной.

Концентрические силовые линии будут охватывать всю траекторию движущихся зарядов, о чём свидетельствует картина расположения стальных опилок вокруг прямолинейного проводника с током (рис. 2.1). Картина силовых линий показывает, что линии действия магнитных сил лежат в плоскости перпендикулярной направлению течения тока. Направление магнитного поля принято определять по правилу буравчика (рис. 2.3).

Если поступательное направление винта совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения головки винта или штопора будет соответствовать направлению линий магнитного поля. Можно воспользоваться и другим правилом. Если смотреть по направлению тока, то магнитные линии будут направлены в сторону движения часовой стрелки.

Следует особо отметить отличие движений исследуемых в рамках электродинамики от механических перемещений. Механическое движение характеризует изменение взаимного положения тел относительно друг друга или относительно выбранной системы отсчёта.

Электрический ток сопряжён с перемещением носителей заряда, однако явление возникновения тока не может быть сведено к одним только перемещениям носителей.

В этой связи по своей сущности электрический ток сопряжён с магнитным полем. Напряжённость этого поля в любой точке пространства пропорциональна силе тока. Устоялось мнение, что магнитное поле не может быть получено отдельно и независимо от электрического тока.

Магнитные поля намагниченных тел, например, природные магниты, тоже имеют таковые свойства вследствие особенностей их внутриатомных токов. Возникновение магнитных полей не связано с физическими характеристиками проводника, а определяется исключительно силой текущего по ним тока.

С позиций магнетизма, термин «сила тока» не совсем адекватен обстоятельствам. Величина тока (это более конкретное определение) на самом деле можно рассматривать как быстроту переноса количества заряда, так и математически определён ток. С другой стороны величина тока однозначно определяет магнитное поле тока, т.е. синтезирует в себе сложную картину действительных перемещений заряженных частиц.

На основании обобщения многочисленных экспериментальных фактов был получен закон, определяющий количественно величину силы (силы Лоренца), действующей на заряд, движущийся в магнитном поле

Fl = q(v х Ч

где q - электрический заряд, v - вектор скорости заряда, B - вектор магнитной индукции, физический смысл которого будет определён ниже. Уравнение силы Лоренца можно записать в скалярной форме r

Fl = qvBsin(V;B).

Определим размерность магнитной индукции, разрешив уравнение силы Лоренца относительно В

B = Ч [в]= 1Н 1с = -Н- = Тл . qv              1Кд - 1м              А - с

Единица индукции магнитного поля именуется теслом. Тесла достаточно большая величина, в лабораторных условиях путём специальных усилий удаётся получать магнитные поля с В = 8 - 10 Тл, хотя в природе существуют поля и с гораздо большей величиной индукции.

Рис. 2.4. Никола Тесла

Никола Тесла родился в 1856 году в той стране, которая до недавнего времени называлась Югославией, а теперь это - Хорватия. Ходили упорные слухи что, Тесла был ясновидцем и обладал различными паранормальными способностями.

Более всего в реальном миру он прославился в молодые годы, когда создал генератор переменного тока и тем предоставил человечеству возможность широкого использования электричества. В своём изобретении он преломил все самые передовые идеи электродинамики.

На определённом этапе творческой биографии судьба свела талантливого учёного и изобретателя с Эдисоном, тем самым, который прославился многими изобретениями. Однако творческий союз не сложился.

Занимаясь промышленной электроэнергетикой, Эдисон основную ставку делал на постоянный ток, в то время как юному славянину было очевидно, что будущее за переменным током, что собственно мы теперь и наблюдаем.

В конце концов, Эдисон, выражаясь современным сленгом, «кинул» Тесла. Поручив ему изобрести электрический генератор переменного тока, пообещал в случае успеха 50 тысяч долларов в качестве вознаграждения. Генератор был создан, но вознаграждения не последовало.

Причём Эдисон сослался на отсутствие у Тесла чувства «американского юмора». Кроме того, Эдисон, опираясь на свой авторитет, пропагандировал огромный вред переменного тока на здоровье людей. Вот такой сказочник был это Эдисон. В подтверждение своих опасений он публично умертвил собаку переменным током. Хотя постоянным током такого эффекта можно было достичь запросто.

Следует отметить, что сам Тесла давал поводы к настороженному отношению к себе, в частности он утверждал, что некая инопланетная цивилизация поддерживает с ним связь, посылая ему сообщения во время восхода марса над горизонтом.

Кроме того, Тесла утверждал, что располагает устройствами, с помощью которых можно достаточно быстро изменять возраст человека.

Рис. 2.5. Движение электрона в однородном магнитном поле

in(V;B)

= 1.

Можно видеть, что сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно скорости движения частицы, т.е. она не совершает работы, что говорит о неизменности кинетической энергии частицы при её движении. Сила Лоренца меняет лишь направление вектора скорости, сообщая частице нормальное ускорение.

При движении частицы в комбинации электрического и магнитного полей, с их стороны будет проявляться суммарная сила в виде силы Кулона и силы Лоренца

F = qE + q(v х b)= q[E + (v x b)].

Рассмотри более подробно некоторые механические аспекты движения заряженной частицы в магнитном поле.

Пусть электрон с зарядом е влетает в магнитное поле (рис. 2.5) перпендикулярно вектору индукции, т.е. VГB, что приведет, в конечном счете, к движению по окружности фиксированного радиуса R. В этом случае

Для случая такого движения электрона, каковой станет находиться на стационарной круговой орбите, можно записать второй закон Ньютона исходя из равенства модулей силы Лоренца и силы, вызванной нормальным ускорением частицы

Fl = evB, sin

mev

2

= evB.

R

Угловое ускорение, при этом будет равно

= v = eB

ю=r=mz

Период обращения электрона определится как

T = 2п 2nm,

ю eB

В случае движения электрона вдоль линий индукции сила Лоренца будет равна нулю, т.к. sin(v; в) = 0, т.е. движение будет прямолинейным и равномерным.

Поле покоящегося в вакууме или воздухе электрического точечного заряда, как известно, определяется уравнением

rqr

E = -

4ns0r

Попытаемся методами теории размерностей модифицировать последнее уравнение применительно к индукции магнитного поля, для чего заменим скалярную величину заряда q на вектор qv

q(v х r)

B

4ns0e

Чтобы размерности правой и левой части уравнения совпадали, необходимо правую часть разделить на квадрат некой скорости, в качестве которой логично использовать квадрат скорости света - с2

B =

q(v х r) 4nc2s0r3

Введём новую размерную постоянную величину р0, которую называют магнитной постоянной, она в в системе СИ выполняет ту же роль, что и s0 в электростатических формулах, т.е. совмещает магнитные единицы с механическими величинами

1

Р 0s0 = —.

0              9-10-12 - 9-1016              А              А

Перепишем уравнение вектора магнитной индукции с учётом полученных соотношений              r

B P0q(v х г)

4nr3

Это уравнение нельзя рассматривать, как полученное на безусловной теоретической основе, во многом оно носит интуитивный характер, однако с его помощью можно получить вполне подтверждаемые экспериментом результаты.

Рассмотрим проводник произвольной формы по которому течёт постоянный ток величиной I. Выделим прямолинейный участок проводника элементарной длиной dl (рис.2.6). За время dt через этот участок протекает электрический заряд величиной

q = e - ne - s - dl, где пє - концентрация электронов, s - поперечное сечение проводника, е - заряд электрона.

Подставим уравнение заряда в уравнение маг-

ф 12,56 -10-

Тл - м

7

нитной индукции

1

1

Тл - м

6

ф4п-10-

Р0 =-

Рис. 2.6. Магнитное поле элемента тока

dB =

dl(v х г)

р0 enesdHy х r

„3

4п r"

Величину тока в проводнике можно представить следующим образом

I = enesv,

что даёт основания записать уравнение в виде

dB Р0 Idl(d1 х г)

4п r3              ’

Модуль элементарного вектора индукции определится, при этом, как

dB Рр Id1 sin(d 1 х г)

4п r2

Полученное уравнение совпало с экспериментами Био и Савара, которое было сформулировано в виде закона Лапласом. Этот закон, закон Био - Савара - Лапласа определяет величину магнитной индукции в любой точке поля, создаваемого током постоянной величины, протекающим через проводник.

Применительно к вектору магнитной индукции справедлив принцип суперпозиции, т. е. сложения элементарных индукций от различных участков проводника заданной длины. Покажем применение закона на проводниках различной формы.

Качественная картина магнитного поля в окрестностях прямолинейного проводника приведена на рис. 2.1, 2.3, сделаем количественные оценки магнитного поля. Выберем в окрестностях проводника (рис. 2.7) произвольную точку А в которой будем определять посредствам закона Био - Савара - Лапласа напряжённость dB от элемента dl

ц0 Isin adl

dB =

Рис. 2.7. Прямолинейный проводник с током

4п              г

Если всю длину проводника разбить на бесконечное множество элементарных участков, то обнаружится, что направление векторов элементарных индукций будет совпадать с направлением касательных к окружностям, проведенным в соответствующих точках пространства, в плоскостях, ортогональных проводнику.

Это даёт основание для получения суммарного значения индукции проинтегрировать уравнение dB

ц0I г sin adl 4n _•[ r2

личину l

Выразим значение г и sina через переменную вег = V R2 +12 ,

R

sin a =

л/R2 +12

Подставим полученные значения г и sina в подынтегральное выражение

B=

PgIR

4п

dl

V(r2 +12 ) ’

Ц 0I

PgIR

B=

4n rAr2 +12              2nR

Существенно отметить, что полученное уравнение сходно с уравнением напряжённости электрического поля заряженного проводника

E = ——.

2ns0R

Кроме того, вектор напряжённости электрического поля направлен радиально, т. е он перпендикулярен вектору индукции в одноимённой точке.

Картина расположения линий магнитной индукции витка с током приведена на рис. 2.8. Получим количественную оценку этого поля, используя методику прежнего подраздела. Напряжённость магнитного поля, создаваемого элементом проводника dl в выбранной произвольной оси кругового тока определится как

dB -ЪД1,

4п г

в данном случае a = п/2, следовательно, sina = 1. Если вектор элементарной индукции dB представить в виде двух составляющих dBx и dBy, то сумма всех горизонтальных составляющих будет равна нулю, другими словами, для решения поставленной задачи необходимо просуммировать вертикальные составляющие dBy

B = f dBy.

dB = dBcos a =

M R 4n Vr2

'2 + h2

Перед интегрированием уравнения необходимо учесть, что

і dl = 2nR.

-dl.

R2

Po1

1

Po1

B =

2R

2

2 \3

^ h

1+ -Д R2

Очевидно, что в центре витка, где h = 0

B = Р 0I

h=0 2R

При большом удалении от плоскости витка h gt;gt; R, т.е.

l(nR2 )

B              ~ pо1 R ~              po

_ 2R h3 _ 2nh3 '

Произведение величины тока на площадь витка называется магнитным момен-

том

Pm = I • 2nR2.

Перепишем уравнение индукции с учётом значения магнитного момента

B              ~ P0Pm

_ 2nh3 '

Рис. 2.9. Магнитное поле соленоида

Рассмотрим применение обсуждаемого закона к длинным прямолинейным катушкам, соленоидам. Соленоид представляет собой цилиндрическую катушку с большим числом витков N, образующих в пространстве винтовую линию.

При достаточно плотном расположении витков друг к другу соленоид можно представить как совокупность большого числа круговых токов (рис. 2.9), что даёт основание полагать однородность поля во внутреннем пространстве.

Оценим количественно магнитное поле внутри соленоида, для чего запишем уравнение закона Био - Савара - Лапласа применительно к элементу соленоида длиной dh

R2

Ро1

dh.

2

dB = N

Проинтегрируем уравнение по всей длине соленоида h

h=«

^(R2 + h2 )3

Если соленоид считать бесконечно длинным, то уравнение упростится

B = p 0NI.

Ампер и его многочисленные последователи опытным путём установили, что на проводники с током (на движущиеся носители заряда) действуют механические силы, вызванные наличием магнитного поля.

Это действие можно описать количественно. Если поперечное сечение проводника S, а его длина в направлении тока l, то электрический заряд, сосредоточен-

2              R2aJ (R2              + h2)

Np 0IR2

B =

Np 0IR2 2

dh

h

ный в элементарном объёме dV = Sdl, будет определяться количеством сосредото-

ченных в нём носителей заряда, в частности - электронов

dN = ndV = nSdl, суммарный электрический заряд которых определится как

dQ = qdN = qnSdl,

где q - заряд носителя, n - концентрация носителей. Силу, действующую остов кристаллической решётки в рассматриваемом элементе проводника, можно определить из условий равновесия электрических и магнитных сил

quB = qE, ^ E = Bu .

Выразим дрейфовую скорость носителей заряда через плотность тока, текущего по проводнику

u = j, E = -Bj. qn qn

Искомую элементарную силу, таким образом можно представить следующим образом

B

dFA = EdQ = — j - qnSdl = IBdl.

qn

r В векторной форме сила, действующая на элементарную длину проводника d 1, по которому течёт ток величиной I, определится векторным соотношением

dFA = l(df X в).

Рис. 2.10. Действие магнитного поля на проводник с током

В случае прямолинейного проводника магнитная индукция во всех точках пространства вдоль всей его длины l магнитная индукция будет постоянной, т.е.

Fa = i(1 х b) ,

или, в соответствие с определением векторного произведения              rr

Fa = I1Bsin(l х В).

Очевидно, что вектор действующей силы будет перпендикулярен плоскости, в которой располагаются векторы 1 и В (рис. 2.10). Уравнение FA является математическим выражением закона Ампера.

Рис. 2.11. Взаимодействие двух проводников с током

Закон Ампера применим для вычисления взаимодействия двух проводников с током.

Пусть по двум длинным прямолинейным проводникам (рис. 2.11) протекают в одном направлению токи величиной I1 и I2. Проводник с током I1 в области расположения другого проводника создаёт магнитное поле с индукцией

Р 0I1

В1 =

2nb

При этом, элемент второго проводника на своей длине Al будет испытывать силу величиной

F21 = B1I2A1.

Совмещая два последних уравнения, получим

p0I1I

-Al.

F2,1 =-

2nb