6.2. Эффективный потенциал взаимодействия (пределХакена. сильное магнитное поле).
Рассмотрим задачу о выводе эффективного электрон-дырочного потенциала в сильном магнитном поле в цределе Хакена [49J.C этой целью применим метод Горького-Дзялошинского [бо] .
Полным импульсом системы является величина
в полный импульс системы. Собственные функции этого оператора
имеют вид:
, ч /6.33/
Выполним над гамильтонианом (29) два унитарных преобразования,
осуществляющих переход к полному импульсу системы и смещение
операторов амплитуд фононных мод соответственно:
обеспечивает параметрическое слежение за внутриэкситонным движением.
В результате выполнения первого унитарного преобразования
получаем:
После усреднения на волновой функции относительного движения по-
тпгаяом таятмлатплптгиий (Ьтппгттяпиатт ятрлИ'раиг—Я^ипыипЙ' пиливші»
Применяя вариационный принцип в виде:
Используя вариационную функцию
txiuraoiur
Данное дифференциальное уравнение - линейное неоднородное второго порядка с непостоянными коэффициентами.
Используя подстановку вида
решим соответствующее однородное дифференциальное уравнение,которое после алгебраических преобразований приобретает следующую форму:
г ~ { ' ? / —
Далее с помощью метода вариации постоянных было получено решение неоднородного дифференциального уравнения (45), которое ввиду громоздкости выражения мы не приводим.
Общее решение уравнения (kb) является тпппмоятттсим И сложным для дальнейшего использования. В пределе
выражение для вариационных мод может быть приведено к следующей относи-
тй тгтттл ттллтлЯр г\»*л •
Эффективный гамильтониан экситон-фононной системы
Вычислить входящие в (6.55) интегралыстт»чом виде невозможно. Приведем результаты для цредела малых
'"когда вкладом объемных оптических фононов в экранировку электронно-дырочного взаимодействия можно пренебречь. Упрощается также и константа взаи-
*/гг\ттойг»Фитла г> ттлио-тгиплФ'шлп/гтл г»ттфитірг»тгт/ги гТіпіттіанш •
В пределе из выражения (6.56) следует нитное поле приводит к столь сильному перекрытию поляризационных облаков электрона и дырки, имеющих разные знаки,что фотонный вклад в экранировку стремится к нулю. Выражение (6.59) по-
лучено для предельно больших магнитных полей.Из выражения (6.55), которое преобразуется к виду
можно проследить за "динамикой" выключения поляризации и усиления электронно-дырочного взаимодействия. Выполняя интегрирование (6.60) получаем:
Из (6.62) следует, что можно поляризацию выключить из экранировки электронно-дырочного взаимодействия двумя способами:
I) фиксируя магнитное шле, изменять эффективную толщину пленки
При выполнении неравенства
^^ S?** * /6.60/
Из (6.61)-(6„62) следует
/6.68/
Усиление электронно-дырочного взаимодействия с уменьшением происходит как за счет вытеснения силовых линий в среду с меньшим ? так и за счет эффекта потери части инерционной экранировки;
2) фиксируя толщину пленки, можно изменять магнитное поле.
ттЛЛ«Лтттт«г поле входит в множитель при
т.е.
то увеличение магнитного поля можно интерпретировать как уменьшение радиуса экситона:
Из выражений (6.70), (6.64), (6.73) видно, как с ростом магнитного поля фононный вклад в экранировку уменьшается и в пределе сильных магнитных полей вообще выключается.
§7. Энергия связи и эффективная масса экситона в сильном
магнитном поле в пределе Хакена.
а) Легкий экситон
При выполнении критериев (6.67), (6.69) для вычисления энергии связи и эффективной массы диамагнитного экситона воспользуемся »«»фп-ігом теории возмущений [87], беря в качестве возмущения ,
которую в явном виде можно записать следующим образом
массой (
в магнитном поле
Волновая функция относительного движения не зависит от
и дается выражением
Очевидно, что эта энергиявьгоождена по моменту
' только при Для экситон
и вырождена по моменту относи
тельного движения отсутствует. Невозмущенный спектр (7.3) полностью дискретен и кулоновские ID правки к нему можно получить при условии по теории возмущений.
Так как кулоновскийоператор (7.1) диагоналей по
квантовому числу, по которому энергия вырождена, то кулоновские поправкі
) к уровням (7.3) находятся по обычной теории возмущений для невырож-
Дисперсионные зависимости (7.4) можно аналитически вычислить при любых
однако эти выражения очень громоздки е. Здесь
мы приведем выражение для нижайшего состояния Ландау в пределе тонкой квантовой пленки, когда эффективный потенциал (7.1)
Выполняя интегрирование выражения (7.5) на волновых функциях нижайшего состоянияЛандау
и огрнничиваясь в разло
жении по импульсам
квадратичными членами, получим для энергии связи и эффективной массы следующие выражения
Первые слагаемые правых частей (7.7) и (7.8) совпадают с выра-жениями, полученными в ?бі/ для двумерного экситона в сильном магнитном поле.
Вторые и третьи слагаемые учитывают протяжение волновых функций в квантовой яме и вклад от инерционной поляризации, соответственно. Учет конечной толщины квантовой ямы приводит к существенному уменьшению энергии связи и росту его эффективной массы. Энергия связи экситона максимальна в квазидвумерном пределе и равна
Из выражений (7.1?^^.ІЗ) следіует. что с росток
энергия связи возрастает как
в отличие о
полученного в ?51?, т.е. в квантовых ямах конечных размеров зависимость энергии связи от магнитного шля слабее, чем предсказывает двумерная модель Лозовика. С этим связана более сильная зависимость эффективна* массы от величины поля: вместо
для двумерного случая^
получаем в квантовой яме конечных размеров.
Приведенный анализ поведения энергии связи и эффективной массы является качественным, так как требует щштериальных неравенств, которые для реальных систем не всегда могут быть выполнены. Для конкретных систем расчет следует выполнять с ис-пользованием общего выражения (7.1).
б) Тяжелый экситон.
я ляттао фст»ощ)го экситона движение дырки слабо квантован- но
в то же время движение электрона хорошо кван-
тованно. Это приводит к появлению дополнительного потенциала.который в рассматриваемом случае симметричной системы приводит к локализации дырки в центре квантовой ямы. Этому будет также способствовать и эффект самовоздействия дырки.
В пределе малых потенциальная энергия электронно-дырочного взаимодействия, как показано выше, может быть представлена в виде (7.18), (7.19). Запишем эти формулы, выделив слагаемые, описывающие двумерное кулоновское взаимодействие. Пренебрегая вкладом оптических фононов, запишем
где
В пределе тонкой пленки выражение в квадратной скобке (7.14) можно считать возмущением. Решение двумерной задачи было получено в работе /бі/. Усредняя второе слагаемое правой часш (7.14) на волновой функции, описывающей относительное движение электро- на и дырки плоскости ХУ и на волновой функции, описывающей движение электрона вдоль оси
получим искомый дополнительный потенциал, в котором движется тяжелая дырка
Полная энергия системы в этом случае равны сумме выражений
(7.3), (7Л0) и (7.20). Если же кинетическая аиеттпия, спиваній
ная с размерным квантованием, много больше
то поправ
ку к энергии размерного квантования от (7.15) можно найти в первом порядке теории возмущений, используя в качестве волновой функции поперечную часть (0.25).