3.2. Магнитное взаимодействие как релятивистский эффект

Покажем, что магнитное взаимодействие двух движущихся зарядов возникает лишь в том случае, если это движение наблюдать из системы отсчета, не связанной с зарядами. Если же наблюдатель движется вместе с зарядами прямолинейно и равномерно со той же скоростью , то все явления протекают так, как если бы система покоилась, то есть сила взаимодействия с его точки зрения будет только кулоновской.

Чтобы не только доказать появление магнитной силы при переходе из одной системы отсчета в другую, но и получить соответствующее опыту выражение для нее, нам потребуется только два хорошо известных вывода теории относительности:

1. Время минимально в той системе, где происходит событие.

2. Масса минимальна в той системе, где тело покоится.

Приведём соответствующие этим выводам формулы:

(5.18) и (5.46).

(3.2)

Номера, стоящие возле каждого выражения, принадлежат уравнениям, введённым в 5-й главе 1 части курса лекций.

А теперь рассмотрим мысленный опыт, изображенный на рис. 3.1. Речь пойдет о тех же двух зарядах одного знака, которые движутся с одинаковой скоростью параллельно друг другу и их движение можно принять за два параллельно текущих тока. Мы помним, что эти токи должны притягиваться, взаимодействуя своими магнитными полями. На рис. 3.1 показаны силовые линии заряда q₁, который создает поле.

и ,

(3.3)

где ' — напряжённость поля точечного заряда q₁, а — вектор, проведённый от заряда, создающего поле, в ту его точку, где находится заряд q₂, т.е. перпендикулярно скорости движения зарядов (см. рис 3.1).

Чтобы найти силу , которая действует на заряд q₂ с точки зрения наблюдателя, находящегося в лабораторной системе отсчета К, запишем второй закон Ньютона для этой системы, считая что масса заряда q₂ будет m в системе К и m₀ в системе К^¢, где он покоится:

,

(3.4)

где u — скорость в направлении оси oy, которую может получить заряд q₂ под действием силы . Приращение координаты y при движении заряда вдоль этой оси будет одинаковым в обеих системах, т.е. dy = dy'. Тогда связь скоростей поперечного движения заряда может быть найдена просто заменой времени dt на dt' по первому из соотношений (3.2):

.

(3.5)

Сила теперь может быть связана с кулоновой силой ' заменой в (3.4) массы заряда m на m₀ — массу заряда в той системе, где он покоится; времени dt на dt' и скорости u на u' по только что полученному соотношению, то есть

,

(3.6)

что мы получали ранее, решая задачу 2 [6, р. 5.9].

Преобразуем последнее равенство, умножив и поделив правую часть на :

.

(3.7)

Для скоростей, далеких от скорости света u