§ 1.5. ПЕРИОД И ЧАСТОТАГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Период и частота
В уравнениях (1.4.3) и (1.4.4) пока не выяснен физический смысл постоянных со0 и ф0.
Постоянная со0, в отличие от ф0, определяется уравнением движения и имеет смысл частоты колебаний.
При колебаниях движение тела периодически повторяется.
Минимальный промежуток времени Т, через который движение тела полностью повторяется, называюсь периодом колебаний. іЗная период, можно определить частоту колебаниїц, т. е. число колебаний в единицу времени. Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за секунду v равно:
(1.5.1)
В СИ и других системах единиц частоту колебаний принято считать равной единице, если в секунду совершается одно колебание. Единица частоты называется герцем (сокращенно Гц) в честь немецкого физика Генриха Герца.
Через промежуток времени Т, т. е. при увеличении аргумента синуса (или косинуса) на щТ, движение повторяется и синус (или косинус) принимает прежние значения. Но на-именьший период синуса или косинуса равен 2тс. Следовательно, соQT = 2л и
со0=у=27ГУ. (1.5.2)
Таким образом, величина со0 — это число колебаний тела, но не за 1 с, а за 2тс с. Она называется циклической или круговой частотой . Конечно, можно было бы и не вводить понятие циклической частоты и пользоваться только частотой v. Но тогда во множестве формул пришлось бы вводить множитель 2к.
Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.
Зависимость частоты и периода
свободных колебаний от свойств системы
Собственная частота колебаний груза на пружине согласно выражению (1.2.5) равна:
<о0=Д. (1.5.3)
Она тем больше, чем больше жесткость пружины, и тем меньше, чем больше масса тела. Это понятно: более жесткая пру- жина сообщает телу большее ускорение, т. е. быстрее меняет еГо скорость и, следовательно, уменьшает время одного колебания.
А чем массивнее тело, тем медленнее оно изменяет ско-рость под действием данной силы.Период колебаний равен:
(1.5.4) Располагая набором пружин различной жесткости и телами раз-ной массы, нетрудно убедиться, что формулы (1.5.3) и (1.5.4) правильно описывают характер зависимости со0 и Т от k и тп.
Собственная частота колебаний математического маятника [см. формулу (1.3.7)] при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины нити и ускорения свободного па-дения так:
(1.5.5) (1.5.6)
Период колебаний равен:
Эта формула была впервые получена голландским ученым X. Гюйгенсом, современником Ньютона.
Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника. Чем больше длина маятника, тем меньше его тангенциальное ускорение [см. формулу (1.3.6)] и тем медленнее происходят колебания. От массы маятника период не зависит, так как от нее не зависит тангенциальное ускорение. Это легко проверить на опыте с различными маятниками. Зависимость периода от ускорения свободного падения также можно обнаружить. Чем меньше ускорение свободного падения, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут в сутки почти на 7 с, если их поднять на вершину Останкинской телебашни (высота 500 м). И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.
Зависимость периода колебаний от значения ускорения свободного падения используется на практике. Измеряя очень точно период колебаний маятника, можно с большой точностью определить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на заданной широте оно не везде одинаково. В районах, где залегают плотные породы, уско- рение свободного падения несколько больше. Этим пользуются при разведке полезных ископаемых.
Замечательно, что период колебаний груза на пружине и период колебаний маятника при малых углах отклонения не зависят от амплитуды колебаний (изохронность колебаний).
Наглядно это можно представить себе так. При увеличении амплитуды колебаний в два раза сила, направленная к положению равновесия, также увеличивается в два раза, в два раза возрастает ускорение, и в два раза большее значение будет иметь приобретенная скорость. В результате вдвое больший путь к положению равновесия тело пройдет за то же время, что и при колебаниях вдвое меньшей амплитуды. Впервые изохронность колебаний маятника заметил Галилей, наблюдая колебания лампад в Пизанском соборе. Любопытно, что время он отсчитывал по частоте собственного пульса. Достаточно точных часов в то время еще не было.Напомним в заключение, что только при малых углах колебания совершаются по гармоническому закону. Если углы отклонения нити от вертикали не малы, то ускорение уже не будет пропорциональным смещению. Поэтому колебания при-обретают более сложный характер, и период колебаний начинает зависеть от амплитуды. Однако при углах отклонения около 1,5° поправка к значению периода, вычисленного по формуле (1.5.6), составляет лишь 0,01%.