§ 1.6. ФАЗА КОЛЕБАНИЙ.ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДЫ И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗЫИЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
Фаза колебаний
При заданной амплитуде гармонических колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом синуса или косинуса, равным ф = соQt + ф0 [формулы (1.4.3) и (1.4.4)].
Величину ф, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой колебаний, описываемых этими
функциями.
Выражается фаза в угловых единицах — радианах или градусах.Фаза определяет не только координаты, но и другие физические величины, например скорости и ускорения, изменяющиеся по гармоническому закону.
Начальная фаза. Сдвиг фаз
В начальный момент времени t = 0 фаза
Ф = ю0г + Ф0 (1.6.1)
имеет значение ф0. Это значение фазы называется начальной фазой.
Два или несколько гармонических колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами могут отличаться друг от друга только начальными фазами. Между колебаниями имеется разность фаз, или, как часто говорят, сдвиг фаз фс. Если начальная фаза первого колебания равна ф01, а второго ф02, то сдвиг фаз второго колебания относительно первого равен:
Фс = (Ро2~Фоі- t1-6-2)
На рисунке 1.10 изображены графики колебаний, сдвинутых
по фазе на ^ . График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону с начальной фазой, равной нулю (ф01 = 0):
х\ = Хт S n
7С
График 2 соответствует колебаниям, сдвинутым по фазе на ^ :
Начальная фаза этих колебаний ф02 = ^.
Так как sin + = cos (0Qt, то
*2 = cos «*>*¦
Таким образом, колебания, описываемые синусом и косину-
к
сом, представляют собой колебания со сдвигом фаз ^ .
Определение амплитуды и начальной фазы из начальных условий
Уже упоминалось, что амплитуда и начальная фаза не определяются уравнением движения. Их значения зависят от начальной координаты х(0) = х0 и начальной скорости *'(0) = uQ. Значения xQ и vQ определяются условиями возбуждения колебаний.
Если вывести тело из положения равновесия и отпустить, не сообщая ему скорости, то х(0) = х0, а х'(0) = 0. Напротив, если сообщить телу начальную скорость, толкнув его в положении равновесия, то х(0) = 0, а х'(0) = vQ.Рассмотрим общий случай, когда при t — 0 х(0) * 0 и х'(0) * 0. Выбор решения в форме синуса или косинуса повлияет на начальную фазу, но не на амплитуду. Пусть решение уравнения (1.4.1) имеет вид:
х = хт sin + Фо)- (1.6.3)
Тогда
х' = %хт cos (o)0t + ф0). (1.6.4)
При t = 0
Х0 = ХТ sin ф0,
(1.6.5)
>0Хт COS Фо-
vQ = conx„ COS
Согласно уравнениям (1.6.5)
х0 v0 sin фп = — ; cos фп = . (1.6.6)
Отсюда
Sin ф0 XqCDq
tg фп= = . (1.6.7)
& Y0 COS ф0 У0 v '
Это выражение определяет начальную фазу ф0. В частном случае, если xQ = 0, то tg ф0 = 0 и ф0 = 0. Если же vQ = 0, то tg ф0 = °о к
И ф0 = 2 •
Возведя в квадрат оба уравнения (1.6.6) и сложив их левые и правые части, получим: 2
2
*0 + 2 0),
(1.6.8)
= 1.
sin2 ф0 + cos2 ф0 = -у
О/
хт Отсюда амплитуда колебаний (1.6.9)
= 2 -L
Хт х0 + 2 ' Ч Юп Юл
При vQ = 0 хт = х0, а при = 0 хт = Если бы мы выразили решение не через синус, а через косинус, то амплитуда по-прежнему имела бы значение, определяемое формулой (1.6.9), а начальная фаза определялась бы уравнением
(1.6.10)
Получите это выражение самостоятельно и рассмотрите предельные случаи xQ = 0 и vQ = 0.