§ 1.6. ФАЗА КОЛЕБАНИЙ.ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДЫ И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗЫИЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ

Фаза колебаний

При заданной амплитуде гармонических колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом синуса или косинуса, равным ф = соQt + ф0 [формулы (1.4.3) и (1.4.4)].

Величину ф, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой колебаний, описываемых этими

функциями.

Фаза определяет не только координаты, но и другие физические величины, например скорости и ускорения, изменяющиеся по гармоническому закону.

Начальная фаза. Сдвиг фаз

В начальный момент времени t = 0 фаза

Ф = ю0г + Ф0 (1.6.1)

имеет значение ф0. Это значение фазы называется начальной фазой.

Два или несколько гармонических колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами могут отличаться друг от друга только начальными фазами. Между колебаниями имеется разность фаз, или, как часто говорят, сдвиг фаз фс. Если начальная фаза первого колебания равна ф01, а второго ф02, то сдвиг фаз второго колебания относительно первого равен:

Фс = (Ро2~Фоі- t1-6-2)

На рисунке 1.10 изображены графики колебаний, сдвинутых

по фазе на ^ . График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону с начальной фазой, равной нулю (ф01 = 0):

х\ = Хт S n

7С

График 2 соответствует колебаниям, сдвинутым по фазе на ^ :

Начальная фаза этих колебаний ф02 = ^.

Так как sin + = cos (0Qt, то

*2 = cos «*>*¦

Таким образом, колебания, описываемые синусом и косину-

к

сом, представляют собой колебания со сдвигом фаз ^ .

Определение амплитуды и начальной фазы из начальных условий

Уже упоминалось, что амплитуда и начальная фаза не определяются уравнением движения. Их значения зависят от начальной координаты х(0) = х0 и начальной скорости *'(0) = uQ. Значения xQ и vQ определяются условиями возбуждения колебаний.

Рассмотрим общий случай, когда при t — 0 х(0) * 0 и х'(0) * 0. Выбор решения в форме синуса или косинуса повлияет на начальную фазу, но не на амплитуду. Пусть решение уравнения (1.4.1) имеет вид:

х = хт sin + Фо)- (1.6.3)

Тогда

х' = %хт cos (o)0t + ф0). (1.6.4)

При t = 0

Х0 = ХТ sin ф0,

(1.6.5)

>0Хт COS Фо-

vQ = conx„ COS

Согласно уравнениям (1.6.5)

х0 v0 sin фп = — ; cos фп = . (1.6.6)

Отсюда

Sin ф0 XqCDq

tg фп= = . (1.6.7)

& Y0 COS ф0 У0 v '

Это выражение определяет начальную фазу ф0. В частном случае, если xQ = 0, то tg ф0 = 0 и ф0 = 0. Если же vQ = 0, то tg ф0 = °о к

И ф0 = 2 •

Возведя в квадрат оба уравнения (1.6.6) и сложив их левые и правые части, получим: 2

2

*0 + 2 0),

(1.6.8)

= 1.

sin2 ф0 + cos2 ф0 = -у

О/

хт Отсюда амплитуда колебаний (1.6.9)

= 2 -L

Хт х0 + 2 ' Ч Юп Юл

При vQ = 0 хт = х0, а при = 0 хт = Если бы мы выразили решение не через синус, а через косинус, то амплитуда по-прежнему имела бы значение, определяемое формулой (1.6.9), а начальная фаза определялась бы уравнением

(1.6.10)

Получите это выражение самостоятельно и рассмотрите предельные случаи xQ = 0 и vQ = 0.