§ 1.7. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ. ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ
При гармонических колебаниях координаты тела его скорость и ускорение также меняются гармонически.
Скорость
Проекция скорости на ось X есть производная координаты по времени.
Если х = хт cos (со0i + ф0), тоVX = x' = -G)0xmsin(co0i + ф0) = C0oxmcos (ю0і + ф0 + \ j. (1.7.1)
Скорость при гармонических колебаниях меняется с течением времени гармонически. Амплитуда скорости равна vm = и>0хт, а по
фазе колебания скорости опережают колебания координаты к
на 2-
В момент, когда координата равна нулю (момент прохождения положения равновесия), модуль скорости максимален, и, наоборот, скорость равна нулю, когда координата максимальна по модулю (рис. 1.11, а, б; ф0 = 0).
Ускорение
Проекция ускорения на ось X есть производная скорости по времени:
fl* = = -®1Хт C0S К* + Фо)'
ИЛИ
ах = cos (co0f + ф0 + л). (1.7.2)
Ускорение при гармонических колебаниях координаты меняется гармонически. Амплитуда ускорения равна ат =
а по фазе колебания ускорения опережают колебания координаты на
Ускорение и координата одновременно становятся максимальными по модулю, но имеют противоположные знаки. В подобных случаях говорят, что колебания происходят в про- тивофазе (рис. 1.11, а, в; ф0 = 0).
Относительно колебаний скорости колебания ускорения
сдвинуты по фазе на ^ , а амплитуда ускорения связана с амп-литудой скорости соотношением: ат = vma>Q.
Превращения энергии при гармонических колебаниях
Оттянув груз, подвешенный на пружине, вниз, мы сообщаем грузу некоторый запас потенциальной энергии. При движении груза вверх пружина сокращается и потенциальная э?,ргия уменьшается. Но одновременно увеличивается кинетическая энергия груза. В момент прохождения телом положения равновесия потенциальная энергия становится минимальной. Кинетическая же энергия достигает максимума.
После прохождения положения равновесия скорость начинает уменьшаться.
Следовательно, уменьшается и кинетическая энергия. Потенциальная энергия снова растет. В самой верхней точке она достигает максимума, а кинетическая энергия становится равной нулю. Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Частота колебаний потенциальной и кинетической энергий в два раза больше частоты колебаний тела.Такие же изменения кинетической и потенциальной энергий происходят при колебаниях маятника.
Полная механическая энергия при колебаниях груза на пружине равна сумме кинетической и потенциальной энергий:
2 2 mv* kx
W=Wk + Wp=-^ +*§-. (1.7.3)
Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются, но полная механическая энергия в системе без трения согласно закону сохранения энергии остается неизменной. Она равна либо потенциальной энергии в момент максимального отклонения от положения равновесия, либо кинетической энергии в момент, когда тело проходит положение равновесия. Докажем это.
Подставим в формулу (1.7.3) выражения для у и х:
2 2 2 ТП(йпХт „ kxm .
W = —sin2 (ш0г + ф0) + -f cos2 (оQt + <р0). (1.7.4)
Заменив в первом члене уравнения (1.7.4) его значением o)q = ^, получим:
[sin2 (C00f + ф0) + cos2 (C00f + ф0)] = ^ . (1.7.5)
Если же во второй член уравнения (1.7.4) подставить k = и учесть, что (й0хт = vm, то будем иметь:
2 2 w = ~ [sin2 (G)0f + ф0) + cos2 (C00f + Еще по теме § 1.7. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ. ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ: