Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

§ 1.6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ


При решении задач на применение закона Кулона используются законы статики, изученные в механике (вспомните их). Методы решения задач остаются теми же, что и в механике, но добавляется еще одна сила — кулоновская.
При этом надо иметь в виду, что направление кулоновской силы зависит от знаков зарядов взаимодействующих тел.
Кроме того, в ряде задач используется закон сохранения заряда и тот факт, что минимальная порция электрического заряда равна по модулю элементарному заряду е = 1,6 • Ю-19 Кл.
Задача 1
Сколько электронов содержится в капле воды массой т = 5 • 1(Г5 кг?
Решение. Число молекул, содержащихся в капле воды, равно:
М А»
где М — молярная масса воды, равная 1,8 • 1(Г2 кг/моль, a Na — постоянная Авогадро, равная 6,02 • 1023 моль-1. Одна молекула воды содержит га = 10 электронов. Следовательно, число электронов в капле воды равно:
nN = п • ^N, ~ 1,7 • 1022.
М А
Задача 2 Ti
В воздухе на нити висит шарик объемом У=2*106м3и плотностью р = 9 • 103 кг/м3. Заряд шарика q = 2 • Ю-7 Кл. На какое расстояние снизу надо поднести к нему маленький шарик с таким же по модулю, но противоположным по знаку зарядом, чтобы сила натяжения нити возросла вдвое? Рассмотрите два случая: а) шарики взаимодействуют в воздухе; б) вся система погружена в керосин (плотность керосина рк = 800 кг/м3, ди-электрическая проницаемость в = 2,1).
Решение, а) В воздухе на первый шарик до поднесения второго действует сила натяжения нити 711 mS
и сила тяжести mg (рис. 1.9). Рис. 1.9
Так как шарик находится в равновесии, то Т1 = mg. После того как к первому шарику поднесли снизу второй заряженный шарик (рис. 1.10), на первый шарик стали действовать три силы: сила натяжения нити Т2, сила тяжести mg и куло-
новская сила Fv
Так как и теперь шарик находится в равновесии, то Т 2 + mg + F1 = 0.
В проекциях на вертикально направленную ось У это равенство запишется так:
T2-mg-F1 = 0.
Согласно условию Т2 = 2Т1 = 2mg. Следовательно,
2mg - mg - F1 = 0.
Отсюда
F1 = mg.
2 2 2 По закону Кулона F1 = k^, поэтому k^ = mg, или k^ = pVg.
ri ri ri
Отсюда
Гі = к?ІА== 4,4 • 10-2 M = 4,4 см.
б) Когда вся система погружена в керосин, на первый шарик действуют четыре силы: сила натяжения нити Т2, сила Yk
Yi — ¦IF. 2
' mg
Fl mg О
O'-Z — Рис. 1.10
Рис. 1.11 тяжести mg, кулоновская сила F2 и архимедова сила F (рис. 1.11).
Из условия равновесия имеем:
T2 + mg+ F2 + Fh = О,
или в проекциях на ось У: (1.6.1)
T2-mg-F2 + Fa = 0. Здесь Т2 = 2mg = 2рVg; F2 = k-^ ; F& = pПодставляя
er,
эти выражения в равенство (1.6.1), получим:
Го = \д\ \ „ k =0,03 м = Зсм.
2 '*'*JeVg(p - рк)
Задача 3
Два одинаковых шарика, несущих равные заряды, подве- шеньГна нитях равной длины к одной точке. Шарики опускают в керосин. Чему равна плотность р материала шариков, если угол расхождения нитей в воздухе и в керосине одинаков? Плотность керосина рк = 0,8 г/см3, его диэлектрическая проницаемость є = 2.
Решение. Когда система находится в воздухе, то на каждый шарик действуют три силы (рис. 1.12, а): сила тяжести mg, сила натяжения нити Т1 и кулоновская сила F1 (на рисунке изображены силы, действующие на один из шариков).


Рис. 1.12

mg
Рис. 1.13
mg
mg
б)
б) Так как шарики находятся в равновесии, то сумма сил равна нулю:
mg + Fl + Тl => 0.
Это означает, что при сложении сил векторы образуют пря-моугольный треугольник (рис. 1.12, б). Из этого треугольника имеем:
F1 = mgtg а.
При погружении в керосин появляется еще архимедова сила Fa, а сила натяжения нити Т2 и кулоновская сила F2 умень-шаются по модулю (рис. 1.13, а). Шарики находятся в равновесии, значит,
mg + Fa + F2 + T2 = 0.
Отсюда следует, что при сложении сил они образуют замкнутую фигуру (рис. 1.13, б). Из рисунка видно, что
F2 = (mg - F&)tg а.
Отношение модулей сил F^ и F2 есть диэлектрическая про-ницаемость среды:
Fi mg
тг = Є, или ——=г = Є.
F2 ms - Fa
Подставляя в это выражение значения массы т = pF и ар-химедовой силы F = pyVg, получим:
pVg
е.
РVg - рKVg
Отсюда
ЄРк , с , 3 р= —j- ~ 1,6 г/см .
Можно решить эту задачу, проецируя векторные равенства на оси координат. Решение получается более громоздким.
Задача 4
В вершинах квадрата расположены одинаковые заряды q. Какой заряд q0 надо поместить в центре квадрата, чтобы сис-тема находилась в равновесии?

Рис. 1.14
о
Решение. Искомый заряд qQ должен притягивать заряды q, расположенные в вершинах квадрата, компенсируя их взаимное отталкивание. Поэтому знаки зарядов qQ и q противоположны. При любом значении заряда q0 он будет находиться в равновесии, так как расположен в центре симметрии квадрата, и силы, действующие на него со стороны зарядов, расположенных в вершинах квадрата, компенсируются.
Заряды, расположенные в вершинах квадрата, будут находиться в рав-новесии, когда суммы действующих на них сил равны нулю. Рассмотрим, например, условие равновесия заряда, располо-женного в точке D (рис. 1.14). На этот заряд действуют силы
отталкивания F1, F2 и F3 со стороны зарядов, расположенных
—>
в вершинах В, С и К, и сила F4 притяжения к заряду qQ. Сле-довательно,
В проекциях на ось X это равенство примет вид: .Fj + FgCos а - F4cos а = 0,
(1.6.2)
где а = 45°, a cos а = ^ .
Для нахождения модулей сил необходимо знать расстояния между зарядами. Обозначим длину стороны BD квадрата через а, тогда
KD = аЛ,АВ =
Подставляя эти силы в уравнение (1.6.2), получим:
Найдем модули сил, используя закон Кулона и считая, что система зарядов находится в вакууме (е = 1):
Отсюда находим:
, і \q\{2j2 + 1)
= 4
Учитывая, что заряды g и qQ должны иметь противоположные знаки, получим:
q(2j2 + 1) % 4
Задача 5
Тонкое проволочное кольцо радиусом R несет электриче-ский заряд q. В центре кольца расположен одноименный с q заряд Q, причем Q » q. Определите силу, растягивающую коль-цо.
Решение. 1-й способ. Так как Q q, то взаимодействием между отдельными элементами кольца можно пренебречь. Выделим малый элемент кольца длиной АI = RAa (рис. 1.15, а).
Со стороны заряда Q на него действует сила F = k , где
R
Силы натяжения Т уравновешивают силу F (рис. 1.15, б). Из условия равновесия, учитывая, что Да мало, имеем:
F = 2Tsin-^ = ТАа.
Отсюда

(1.8.3) А 9Д(Х
и Aq= ^— , получим:
о
Подставляя в (1.8.3) значения k =
т Qg
Q D2'
8я епД

Рис. 1.16
2-й способ. На каждый элемент кольца длиной Alt (рис. 1.16) действует элементарная сила
QAqt
AF. = k- 2 . 1 R
aAi QqAii
Так как Ад. = , то AF. = k ~ .
1 2nR 1 2 nRZ
Геометрическая сумма элементарных сил, действующих на полукольцо, уравновешивается возникающими силами натя-жения кольца (см. рис. 1.16):
?АF, = 2Т = 0.
Или в проекциях на ось У:
? AF - 2Т = 0.
Отсюда
l^iy
Т=-Чг~.
Следовательно,
Т =

iMf
Qq

Из рисунка видно, что
Axl QqAx,.

ал,-
AF. = AF.cos а = AF.--1 іу і і AL
Так как ^Axt = 2R, то
Упражнение 1
Два заряженных шарика малых размеров с одинаковыми отрицательными зарядами расположены в вакууме на расстоянии г = 3 см друг от друга и отталкиваются с силой F = 2 • 10~5 Н. Найдите число избыточных электронов N на одном шарике.
С какой силой взаимодействовали бы две капли воды на расстоянии 10 км, если бы удалось передать одной из капель 2% всех электронов, содержащихся в другой капле массой 5 • 10~5 кг?
Два одинаковых маленьких шарика, имеющие заряды +20 СГСЭ? и -14 СГСЭ?, приведены в соприкосновение и раздвинуты на 2 см. Найдите силу взаимодействия шариков.
Одинаковые металлические одноименно заряженные шарики находятся на расстоянии г. Отношение зарядов шариков равно п. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние их надо развести, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?
Электрон движется вокруг протона по круговой орбите. Определите период Т обращения электрона, считая радиус
орбиты равным г=5 • 10 11 м. Масса электрона те = = 9,1 • Ю-31 кг.
Вокруг точечного заряда Q = 5 СГСЭ^ равномерно движется по окружности под действием кулоновской силы ма-ленький отрицательно заряженный шарик. Чему равно отношение заряда шарика к его массе, если радиус окружности г = 2 см, а угловая скорость вращения со = = 5 рад/с?
Два одинаковых шарика массой т = 0,5г подвешены в вакууме на нитях длиной L = 0,3 м к одной точке. После получения шариками одинаковых зарядов они разошлись на расстояние г = ОД м. Найдите заряд q каждого шарика.
На шелковой нити подвешен маленький шарик массой 0,1 г. Шарику сообщен заряд 50 СГСЭ^. Как близко надо поднести к нему снизу одноименный равный ему заряд, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое? Заряды находятся в вакууме.
Два невесомых одинаково заряженных шарика подвешены в воздухе на тонких непроводящих стержнях длиной 1 = 100 см. Один из стержней закреплен в верикальном положении, а другой, массой т = 5 • 10_3 кг, — свободен. Определите, при каком значении зарядов этот стержень отклонится на угол а = 6° (g ~ 10 м/с2).
Три одинаковых отрицательных заряда q = -9 • Ю-9 Кл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q надо поместить в центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии?
Три одинаковых заряда q = 20 СГСЭ^ помещены в вершинах равностороннего треугольника. Сила, действующая на каждый заряд, по модулю равна F = 0,01 Н. Определите длину а стороны треугольника.
На расстоянии г = 3 м друг от друга расположены два точечных заряда q1 = -9 СГСЭ? и q2 = -36 СГСЭ^. После того как в некоторой точке поместили заряд Q, все три заряда оказались в равновесии. Найдите заряд Q и расстояние х между зарядами q1 и Q.
Четыре одинаковых положительных точечных заряда 5=10 СГСЭ9 закреплены в вершинах квадрата со стороной а = 10 см. Найдите силу, действующую со стороны трех зарядов на четвертый.

Три небольших заряженных одноименным электрическим зарядом шарика находятся в равновесии на двух одинаковым образом наклоненных к горизонту гладких непроводящих плоскостях, располагаясь в вершинах равностороннего треугольника (рис. 1.17). Заряд шариков 1 и 2 один и тот же и вдвое превосходит заряд шарика 3. Найдите отношение масс второго и третьего шариков.
Три одинаковых маленьких шарика массой т = 0,1 г каждый подвешены в одной точке на шелковых нитях длиной I = 20 см. Какие одинаковые заряды следует сообщить шарикам, чтобы каждая нить составляла с вертикалью угол а = 30°?
<< | >>
Источник: Г. Я. Мя кишев, А. 3. Синяков, Б.А.Слободсков. ФИЗИКАЭЛЕКТРОДИНАМИКА 10. 2010

Еще по теме § 1.6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ:

  1. ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  2. §1.13. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  3. §2.14. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  4. § 4.20. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  5. § 1.25. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1
  6. §1.31. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  7. § 2.14. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  8. § 4.5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  9. § 5.7. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  10. § 6.12. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ