§ 1.6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При решении задач на применение закона Кулона используются законы статики, изученные в механике (вспомните их). Методы решения задач остаются теми же, что и в механике, но добавляется еще одна сила — кулоновская.

Кроме того, в ряде задач используется закон сохранения заряда и тот факт, что минимальная порция электрического заряда равна по модулю элементарному заряду е = 1,6 • Ю-19 Кл.

Задача 1

Сколько электронов содержится в капле воды массой т = 5 • 1(Г5 кг?

Решение. Число молекул, содержащихся в капле воды, равно:

М А»

где М — молярная масса воды, равная 1,8 • 1(Г2 кг/моль, a Na — постоянная Авогадро, равная 6,02 • 1023 моль-1. Одна молекула воды содержит га = 10 электронов. Следовательно, число электронов в капле воды равно:

nN = п • ^N, ~ 1,7 • 1022.

М А

Задача 2 Ti

В воздухе на нити висит шарик объемом У=2*106м3и плотностью р = 9 • 103 кг/м3. Заряд шарика q = 2 • Ю-7 Кл. На какое расстояние снизу надо поднести к нему маленький шарик с таким же по модулю, но противоположным по знаку зарядом, чтобы сила натяжения нити возросла вдвое? Рассмотрите два случая: а) шарики взаимодействуют в воздухе; б) вся система погружена в керосин (плотность керосина рк = 800 кг/м3, ди-электрическая проницаемость в = 2,1).

Решение, а) В воздухе на первый шарик до поднесения второго действует сила натяжения нити 711 mS

и сила тяжести mg (рис. 1.9). Рис. 1.9

Так как шарик находится в равновесии, то Т1 = mg. После того как к первому шарику поднесли снизу второй заряженный шарик (рис. 1.10), на первый шарик стали действовать три силы: сила натяжения нити Т2, сила тяжести mg и куло-

новская сила Fv

Так как и теперь шарик находится в равновесии, то Т 2 + mg + F1 = 0.

В проекциях на вертикально направленную ось У это равенство запишется так:

T2-mg-F1 = 0.

Согласно условию Т2 = 2Т1 = 2mg.

2mg - mg - F1 = 0.

Отсюда

F1 = mg.

2 2 2 По закону Кулона F1 = k^, поэтому k^ = mg, или k^ = pVg.

ri ri ri

Отсюда

Гі = к?ІА== 4,4 • 10-2 M = 4,4 см.

б) Когда вся система погружена в керосин, на первый шарик действуют четыре силы: сила натяжения нити Т2, сила Yk

Yi — ¦IF. 2

' mg

Fl mg О

O'-Z — Рис. 1.10

Рис. 1.11 тяжести mg, кулоновская сила F2 и архимедова сила F (рис. 1.11).

Из условия равновесия имеем:

T2 + mg+ F2 + Fh = О,

или в проекциях на ось У: (1.6.1)

T2-mg-F2 + Fa = 0. Здесь Т2 = 2mg = 2рVg; F2 = k-^ ; F& = pПодставляя

er,

эти выражения в равенство (1.6.1), получим:

Го = \д\ \ „ k =0,03 м = Зсм.

2 '*'*JeVg(p - рк)

Задача 3

Два одинаковых шарика, несущих равные заряды, подве- шеньГна нитях равной длины к одной точке. Шарики опускают в керосин. Чему равна плотность р материала шариков, если угол расхождения нитей в воздухе и в керосине одинаков? Плотность керосина рк = 0,8 г/см3, его диэлектрическая проницаемость є = 2.

Решение. Когда система находится в воздухе, то на каждый шарик действуют три силы (рис. 1.12, а): сила тяжести mg, сила натяжения нити Т1 и кулоновская сила F1 (на рисунке изображены силы, действующие на один из шариков).

Рис. 1.12

mg

Рис. 1.13

mg

mg

б)

б) Так как шарики находятся в равновесии, то сумма сил равна нулю:

mg + Fl + Тl => 0.

Это означает, что при сложении сил векторы образуют пря-моугольный треугольник (рис. 1.12, б). Из этого треугольника имеем:

F1 = mgtg а.

При погружении в керосин появляется еще архимедова сила Fa, а сила натяжения нити Т2 и кулоновская сила F2 умень-шаются по модулю (рис. 1.13, а). Шарики находятся в равновесии, значит,

mg + Fa + F2 + T2 = 0.

Отсюда следует, что при сложении сил они образуют замкнутую фигуру (рис. 1.13, б). Из рисунка видно, что

F2 = (mg - F&)tg а.

Отношение модулей сил F^ и F2 есть диэлектрическая про-ницаемость среды:

Fi mg

тг = Є, или ——=г = Є.

F2 ms - Fa

Подставляя в это выражение значения массы т = pF и ар-химедовой силы F = pyVg, получим:

pVg

е.

РVg - рKVg

Отсюда

ЄРк , с , 3 р= —j- ~ 1,6 г/см .

Можно решить эту задачу, проецируя векторные равенства на оси координат.

Задача 4

В вершинах квадрата расположены одинаковые заряды q. Какой заряд q0 надо поместить в центре квадрата, чтобы сис-тема находилась в равновесии?

Рис. 1.14

о

Решение. Искомый заряд qQ должен притягивать заряды q, расположенные в вершинах квадрата, компенсируя их взаимное отталкивание. Поэтому знаки зарядов qQ и q противоположны. При любом значении заряда q0 он будет находиться в равновесии, так как расположен в центре симметрии квадрата, и силы, действующие на него со стороны зарядов, расположенных в вершинах квадрата, компенсируются.

Заряды, расположенные в вершинах квадрата, будут находиться в рав-новесии, когда суммы действующих на них сил равны нулю. Рассмотрим, например, условие равновесия заряда, располо-женного в точке D (рис. 1.14). На этот заряд действуют силы

отталкивания F1, F2 и F3 со стороны зарядов, расположенных

—>

в вершинах В, С и К, и сила F4 притяжения к заряду qQ. Сле-довательно,

В проекциях на ось X это равенство примет вид: .Fj + FgCos а - F4cos а = 0,

(1.6.2)

где а = 45°, a cos а = ^ .

Для нахождения модулей сил необходимо знать расстояния между зарядами. Обозначим длину стороны BD квадрата через а, тогда

KD = аЛ,АВ =

Подставляя эти силы в уравнение (1.6.2), получим:

Найдем модули сил, используя закон Кулона и считая, что система зарядов находится в вакууме (е = 1):

Отсюда находим:

, і \q\{2j2 + 1)

= 4

Учитывая, что заряды g и qQ должны иметь противоположные знаки, получим:

q(2j2 + 1) % 4

Задача 5

Тонкое проволочное кольцо радиусом R несет электриче-ский заряд q. В центре кольца расположен одноименный с q заряд Q, причем Q » q. Определите силу, растягивающую коль-цо.

Решение. 1-й способ. Так как Q q, то взаимодействием между отдельными элементами кольца можно пренебречь. Выделим малый элемент кольца длиной АI = RAa (рис. 1.15, а).

Со стороны заряда Q на него действует сила F = k , где

R

Силы натяжения Т уравновешивают силу F (рис.

F = 2Tsin-^ = ТАа.

Отсюда

(1.8.3) А 9Д(Х

и Aq= ^— , получим:

о

Подставляя в (1.8.3) значения k =

т Qg

Q D2'

8я епД

Рис. 1.16

2-й способ. На каждый элемент кольца длиной Alt (рис. 1.16) действует элементарная сила

QAqt

AF. = k- 2 . 1 R

aAi QqAii

Так как Ад. = , то AF. = k ~ .

1 2nR 1 2 nRZ

Геометрическая сумма элементарных сил, действующих на полукольцо, уравновешивается возникающими силами натя-жения кольца (см. рис. 1.16):

?АF, = 2Т = 0.

Или в проекциях на ось У:

? AF - 2Т = 0.

Отсюда

l^iy

Т=-Чг~.

Следовательно,

Т =

iMf

Qq

Из рисунка видно, что

Axl QqAx,.

ал,-

AF. = AF.cos а = AF.--1 іу і і AL

Так как ^Axt = 2R, то

Упражнение 1

Два заряженных шарика малых размеров с одинаковыми отрицательными зарядами расположены в вакууме на расстоянии г = 3 см друг от друга и отталкиваются с силой F = 2 • 10~5 Н. Найдите число избыточных электронов N на одном шарике.

С какой силой взаимодействовали бы две капли воды на расстоянии 10 км, если бы удалось передать одной из капель 2% всех электронов, содержащихся в другой капле массой 5 • 10~5 кг?

Два одинаковых маленьких шарика, имеющие заряды +20 СГСЭ? и -14 СГСЭ?, приведены в соприкосновение и раздвинуты на 2 см. Найдите силу взаимодействия шариков.

Одинаковые металлические одноименно заряженные шарики находятся на расстоянии г. Отношение зарядов шариков равно п. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние их надо развести, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?

Электрон движется вокруг протона по круговой орбите. Определите период Т обращения электрона, считая радиус

орбиты равным г=5 • 10 11 м. Масса электрона те = = 9,1 • Ю-31 кг.

Вокруг точечного заряда Q = 5 СГСЭ^ равномерно движется по окружности под действием кулоновской силы ма-ленький отрицательно заряженный шарик.

Два одинаковых шарика массой т = 0,5г подвешены в вакууме на нитях длиной L = 0,3 м к одной точке. После получения шариками одинаковых зарядов они разошлись на расстояние г = ОД м. Найдите заряд q каждого шарика.

На шелковой нити подвешен маленький шарик массой 0,1 г. Шарику сообщен заряд 50 СГСЭ^. Как близко надо поднести к нему снизу одноименный равный ему заряд, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое? Заряды находятся в вакууме.

Два невесомых одинаково заряженных шарика подвешены в воздухе на тонких непроводящих стержнях длиной 1 = 100 см. Один из стержней закреплен в верикальном положении, а другой, массой т = 5 • 10_3 кг, — свободен. Определите, при каком значении зарядов этот стержень отклонится на угол а = 6° (g ~ 10 м/с2).

Три одинаковых отрицательных заряда q = -9 • Ю-9 Кл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q надо поместить в центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии?

Три одинаковых заряда q = 20 СГСЭ^ помещены в вершинах равностороннего треугольника. Сила, действующая на каждый заряд, по модулю равна F = 0,01 Н. Определите длину а стороны треугольника.

На расстоянии г = 3 м друг от друга расположены два точечных заряда q1 = -9 СГСЭ? и q2 = -36 СГСЭ^. После того как в некоторой точке поместили заряд Q, все три заряда оказались в равновесии. Найдите заряд Q и расстояние х между зарядами q1 и Q.

Четыре одинаковых положительных точечных заряда 5=10 СГСЭ9 закреплены в вершинах квадрата со стороной а = 10 см. Найдите силу, действующую со стороны трех зарядов на четвертый.

Три небольших заряженных одноименным электрическим зарядом шарика находятся в равновесии на двух одинаковым образом наклоненных к горизонту гладких непроводящих плоскостях, располагаясь в вершинах равностороннего треугольника (рис. 1.17). Заряд шариков 1 и 2 один и тот же и вдвое превосходит заряд шарика 3. Найдите отношение масс второго и третьего шариков.

Три одинаковых маленьких шарика массой т = 0,1 г каждый подвешены в одной точке на шелковых нитях длиной I = 20 см. Какие одинаковые заряды следует сообщить шарикам, чтобы каждая нить составляла с вертикалью угол а = 30°?