6.1 Ультрафиолетовые расходимости

Хорошо известно, что ультрафиолетовые (УФ) расходимости, возникающие в квантовой теории поля на малых масштабах, т.е. при больших передачах импульса А—* оо, связаны с трансформационными свойствами квантовополевых моделей по отношению к масштабным преобразованиям.

(я)

Фп = z;% д = g0zg \ Перенормированные функции Грина

G*(x ь. д, А) = Z~nGn{xu ...,хп; д0),

полученные путем такого преобразования, становятся конечными в ультрафиолетовом пределе А —> оо - все расходимости адсорбируются бесконечными константами перенормировки Ztj>(g,A),Zg(g,A). Независимость наблюдаемых физи-ческих результатов от изменения масштаба

А' = е'А, х' = е~1х (6.1)

известна как ренормализационная инвариантность, а сама группа преобразований -как ренормализационная группа (РГ), см. (2.54,2.55).

129

Современная квантовая теория поля немыслима без методов, связанных с ренормализационной группой. Большинство фундаментальных результатов, полученных в теории фазовых переходов, квантовой электродинамике, квантовой хромодинамике и других квантовополевых моделях, являются прямым следствием применения методов РГ. Таким образом, возникает естественное желание с самого начала построения квантовой теории поля заложить в нее некоторую ко-вариантность по отношению к масштабным преобразованиям (6.1), а не делать это уже потом, столкнувшись с проблемой расходимостей.

Лучший способ математического описания любой физической системы состоит в выборе такого функционального базиса, свойства симметрии которого близки к свойствам симметрии исследуемой системы на столько, на сколько это возможно. По этой причине для описания атома водорода мы используем базис сферических функций, а для описания движения частицы в однородном про-странстве используем базис плоских волн.

Говорят, что физическая система имеет группу симметрии G, если действие группы G на независимые переменные (координаты) и зависимые переменные (поля)

х -> я' = Тх, фа(х) -* ф'а(х') = Щф\х),

где Т и М некоторые операторы, не изменяет функционала действия системы (или любого другого функционала, который, как мы считаем, определяет динамику системы). Если действие группы преобразований не затрагивает фи-зические поля непосредственно, а действует лишь на координаты:

ф"(х) - ф'а(х>) = фа(Т~їх'),

такие поля фа называют скалярными по отношению к группе преобразований G.

Наиболее важной из используемых в физике групп преобразований является группа Пуанкаре xj = А^х» + Волновые функции элементарных частиц - электронов, фотонов, кварков и т.д. - не являются скалярами по отношению к группе Пуанкаре. Они обладают нетривиальными трансформационными свойствами по отношению к преобразованиям Лоренца (вращениям и бустам) Av, и классифицируются по спину, определяющему эти свойства. Тем не менее,

130 для исследования аспектов теории, связанных с масштабными преобразованиями, в рамках некоторой упрощенной модели мы можем рассматривать волновые функции элементарных частиц как лоренц-скаляры. Такое допущение применимо в отношении тех физических свойств, которые непосредственно не связаны с вращениями, или, в силу отсутствия в системе скоростей, сравнимых со скоростью света, для которых не существенны релятивистские эффекты. Одной из таких теорий является (скалярная) теория критического поведения, в которой намагниченность ф(х) рассматривается как скалярная функция координат.

Здесь, следуя работе [9], ограничим наше рассмотрение скалярными ком- плекснозначными полями. Обычно, скалярная теория поля определяется в семерном евклидовом пространстве Rd, изоморфном группе трансляций х' — х + Ь, х, Ь Є Rd. Представление группы трансляций в пространстве квадратично интегрируемых комплекснозначных функций задается в виде: и(Ъ)ф{х) = ф(х — Ь). Унитарное представление группы трансляций задается в пространстве периодических функций

U(b)e~imx = еітЬе-ітх, U(-b) = U*{b).

Посколько сама концепция группы является более общей чем концепция евклидова пространства или пространства Минковского, естественно возникает вопрос: Какие из групп разумно использовать в физических моделях для построения разложения (1.4), и как это может быть использовано в квантовополевых расчетах? С физической точки зрения, пространственно-временные координаты (х) не могут быть измерены с произвольно высокой точностью, а следовательно, можно говорить лишь о значениях полей фа, измеренных в точке х с конечным разрешением Ах. Представляется вполне разумным, что адекватное описание этой ситуации, наследующее идеи ренормализационной группы, может быть достигнуто путем использования функционального разложения по представлениям аффинной группы.

Рассмотрим теперь квантовополевую модель с полиномиальным взаимодействием фп, в которой скалярное поле ф(а,Ь) изначально определяется на аффинной группе, в том смысле, что а и Ъ являются координатами на групповом многообразии (1.6).