<<
>>

§ 2. Измеримые пространства.

Примеры -алгебр:

1) =(0, ) – бедная алгебра,

2) ={A:A} - богатая алгебра,

3) ={A:, A, 0,} называют алгеброй, порожденной множеством А.

Вопрос: Когда алгебра А() будет являться алгеброй F?

Определение . Система М() подмножеств называется монотонным классом, если из того, что АМ() n=1,2,.. и , т.е. и следует, что М().

Теорема 2. Для того, чтобы алгебра А() была алгеброй F необходимо и достаточно, чтобы она являлась монотонным классом.

2.1. Измеримое пространство (R1, B (R1))

Пусть R1=(-,] – действительная прямая и (a,b] = { R1: } для всех . Обозначим через А(R1) систему множеств в R1, состоящую из конечных сумм непересекающих интервалов вида (a,b] : А(R1), где . Нетрудно видеть, что эта система множеств, а также – образуют алгебру – А(R1) , которая не является алгеброй, так как А(R1), но А(R1).

Определение. B (R1) – наименьшая алгебра, порожденная А(R1) называется борелевской алгеброй, а ее множества – борелевскими.

Если обозначить через систему интервалов (a,b], а через - наименьшую алгебру содержащую .

Нетрудно установить B (R1)= .

Из каких элементов B (R1)? Из предыдущих построений следует, что B (R1) состоит из интервалов вида , где , и их счетных объединений и пересечений. Отсюда следует, что:

i) ii) iii)

2.2. Измеримое пространство (Rn,B (Rn))

Пусть Rn = RRR – называется прямое или декартово произведение n экземпляров числовой прямой, то есть, множество упорядоченных наборов , где , .

Множество где , называется прямоугольником, то есть, Rn : , а - его сторонами.

Через (Rn) обозначим совокупность всех прямоугольников из Rn.

(Rn) - наименьшая алгебра порожденная - называется борелевской алгеброй множеств Rn, которую и обозначим через B (Rn).

2.3. Измеримое пространство (R,B (R))

R- пространство числовых последовательностей где - , Пусть - борелевское множество к-ой числовой прямой (то есть, множество B (R1)). Рассмотрим множества :

i) R :};

ii) R :};

iii) B (R ) R : .

Такие множества называются цилиндрическими, причем называют основанием цилиндра, а остальные координаты – образующими цилиндра. Нетрудно видеть, что множества , , образуют алгебру. Обозначим наименьшие алгебры, порожденные множествами вида i)-iii) через B (R), B1(R), B2(R), соответственно. Можно показать, что эти алгебры совпадают.

2.4. Измеримое пространство (RТ , B (RТ))

Пусть Т – произвольное пространство, множество. Пространство RТ – совокупность действительных функций на T со значениями в R1, обозначенные . Для простоты будем считать, что . Обозначим:, где . Проводя рассуждения аналогичные приведенным в пункте 2.3, легко построить алгебру борелевских множеств на RТ, порожденную цилиндрическими множествами и обозначаемую через B (RТ).

Возникает вопрос: какова структура множества B (RТ)? Оказывается, что любое множество B (RТ) допускает представление , где B (R). Отсюда следует, что множества, зависящие от поведения функций в несчетном числе точек t Т необязаны быть измеримыми относительно B (RТ). Например: i)}, , ii) - непрерывные в точке .

В связи с неизмеримостью некоторых множеств из RТ по отношению к B (RТ) естественно рассматривать более узкие функциональные пространства.

2.5. Измеримое пространство (С[0,T], B (С[0,T])).

Пусть Т=[0,1], С[0,1] - пространство непрерывных функций xt, t [0,1], со значениями в R1. Очевидно, С[0,1] –метрическое пространство, относительно метрики ρ(х,у)= , то есть ρ(х,у) – расстояние между двумя непрерывными функциями, обладающие свойствами:

1) ρ (х,у)=0x=y; 2) ρ (х,у)= ρ (у,x); 3) ρ (х,у) ρ (x,z)+ ρ(z,y).

Через B (С[0,T]) обозначим наименьшую алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, которые строятся аналогично пункту 2.4.

2.6. Измеримое пространство (D,B(D)).

D – пространство функций xt , t [0,1], со значениями в R1 , непрерывные справа, имеющие пределы слева в любой точке t[0,1]. В нем также можно ввести метрику:

ρs(x,y)inf {, где - множество строго возрастающих непрерывных на отрезке [0,1] функций , причем и }. -алгебра B(D) строится аналогично пункту 2.4.

<< | >>
Источник: Теория случайных процессов. Лекция. 2017

Еще по теме § 2. Измеримые пространства.:

  1. О СМЫСЛЕ ЧИСЕЛ
  2. СИМВОЛИКА КАРТИНЫ МИРА И ПРОБЛЕМА ПРОСТРАНСТВА
  3. ФАУСТОВСКОЕ И АПОЛЛОНОВСКОЕ ПОЗНАНИЕ ПРИРОДЫ
  4.   ПРОСТРАНСТВО  
  5. Содержание дисциплины
  6. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  7. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  8. § 2. Измеримые пространства.
  9. § 3. Задание вероятностных мер на измеримых пространствах.
  10. § 4. Случайные величины, случайные элементы.
  11. § 2 Существование случайных последовательностей.
  12. §1 Винеровский процесс и его свойства.
  13. §2 Стохастические интегралы по винеровскому процессу.
  14. 1. Измеримые функции и их свойства
  15. 5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
  16. 1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
  17. 7. s-аддитивность прямого произведения мер. Теорема Фубини
  18. 1. Линейные пространства. Нормированные пространства. Метрика, порожденная нормой. Ряды в нормированных пространствах. Абсолютная сходимость ряда и полнота нормированного пространства. Факторпространства