6.1 Общие положения

Иногда для этой функции известны не её конкретные значения X(и) при фиксированном и, а например часть F(t) группы (сама группа принима-

ется за единицу) At = {и : X(и) < t}. Свойство и Е At означает, что и

t

В практической жизни для случайной величины X(и) предполагаются известными её значения Хк = X (ик) и вероятности рк, с которыми эти значения принимаются. Таким образом, продолжительность жизни трактуется как дискретная (обычно счетнозначная) случайная величина, заданная распределением x1 x2 xn pi Р2 Pn Здесь числа Хк означают количество прожитых лет, а рк - вероятность индивидуума прожить Хк лет.

Значения этой таблици берут из наблюдений за некоторой группой (обычно 100000, или 1 млн., или 10000), обозначая через lx количество людей, доживших до возраста x. При этом через и обозначается предельный воз-

j)9jct^ tsik что

L+1 = 0. Число x > 0 берётся целым. Через dx = lx—x+i обозначается число умерших в возрасте x. Число qx = dx/lx означает долю

xx Эти данные записываются в таблицу

женщины

мужчины x lx dx qx lx dx qx 0 100000 2047 0,02047 100000 1512 0,01512 1 97953 200 0,002042 98488 161 0,001635 2 97753 113 0,001156 98327 98 0,000997 3 97640 Наряду с этими числами вводятся величины:

px = 1 — qx = lx+1/lx - вероятность дожить до x +1 для человека возраста

x

npx = lx+n/lx = px • px+i, ...,px+n— 1 - вероятность дож ить до x + n лет для xx

n

nqx = 1 —npx = (lx — lx+n)/lx - вероятность умереть в течении следующих nx

Понятно, что такая таблица полностью заполняется лишь тогда, когда вся наблюдаемая группа уже прожила своё время. Поэтому в реальной жизни

для расчётов продолжительности используют таблици для уже проживших групп, которые по некоторым соображениям остаются совпадающими с наблюдаемой группой.

Важной характеристикой группы является средняя продолжительность оставшейся жизни.

Tx

w—x

Tx — dx+l + 2dx+2 + ••• — lx=1 — lx + 2(lx+2 — lx+l)--- — lx+1 + ••• + lw } ^ lx+k•

k=l

Tx

дожившие до возраста x.

ex — Tx/lx (6.1.1)

называется средней продолжительностью оставшейся жизни для про- x

При вышеуказанном подходе к описанию продолжительности жизни считается, что смерти происходят в начале года. Иногда возникает необходимость учитывать то обстоятельство, что это событие может происходить и в любой момент года. Для этого делаются различные предположения. Например, вводятся вели^'чинt^i«

dx(u) — udx;

uqx uqx 5

0 Тогда вероятность для человека возраста x дожить до возроста x + u определяется как:

uPx lx+u /lx 1 u + upx •

Здесь полагается lx+u — lx ^ x+j u•