<<
>>

10.4. Задачи для самостоятельной работы

10.1. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид (закон равномерного распределения)

Определить:

а) ;

б) ;

в) найти связь между средним квадратическим и срединным отклонениями случайной величины Х.

(Ответ: а) ; б) в) )

10.2. Функция распределения случайной величины Х имеет вид (закон арксинуса)

Определить постоянные a и b. Найти и .

(Ответ: )

10.3. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, если плотность вероятности

(Ответ: )

10.4. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид (закон арксинуса)

.

Определить дисперсию и срединное отклонение.

(Ответ: )

10.5. Плотность вероятности случайных амплитуд А боковой качки корабля определяется формулой (закон Рэлея)

,

где - дисперсия угла крена.

Одинаково ли часто встречаются амплитуды, меньшие и большие средней?

(Ответ: ; )

10.6. Скорость молекул газа имеет плотность вероятности (закон Максвелла)

.

Найти математическое ожидание и дисперсию скорости молекул, а также величину А при заданном h.

(Ответ: )

10.7. Плотность вероятности случайной величины X задана в виде

Определить и .

(Ответ: )

10.8. Функция распределения случайной величины X имеет вид

Найти М[Х] и D[X].

(Ответ: )

10.9. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид (распределение Лапласа):

.

(Ответ: )

10.10. Случайная величина X имеет плотность вероятности (гамма-распределение)

Определить параметр А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

(Ответ: )

10.11. Случайная величина X имеет плотность вероятности (бета-распределение)

Определить параметр А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

(Ответ: )

10.12. Случайная величина X имеет плотность вероятности

,

где — целое положительное число, большее 1. Определить постоянную А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

(Ответ:

Указание: Для вычисления интеграла следует воспользоваться подстановкой , приводящей к бета-функции, а последнюю выразить через гамма-функцию)

10.13. Плотность вероятности неотрицательной случайной величины X имеет вид (-распределение)

,

где .

Определить А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

(Ответ: )

10.14. Доказать, что при выполнении условий

и

для математического ожидания случайной величины справедливо равенство

.

(Указание: Воспользоваться соотношением )

10.15. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t задается формулой

.

Определить среднее время поиска, необходимое для обнаружения судна.

(Ответ:

Указание: Обратить внимание на то, что является функцией распределения случайного времени поисков , необходимого для обнаружения судна)

10.16. Определить математическое ожидание m(t) массы радиоактивного вещества спустя время t, если в начальный момент масса вещества была , а вероятность распада ядра любого атома в единицу времени постоянна и равна р.

(Ответ:

Указание: Учесть, что вероятность распада любого фиксированного атома за промежуток времени равна и составить дифференциальное уравнение для m(t))

10.17. Определить время полураспада радиоактивного вещества, если вероятность распада ядра любого атома в единицу времени постоянна и равна р. (Время полураспада Тп определяется моментом, когда масса радиоактивного вещества в среднем уменьшается вдвое.)

(Ответ:

Указание: Воспользоваться решением задачи 10.16)

10.18. Обработка результатов одной переписи показала, что плотность вероятности возраста лиц, занимающихся научной работой, может быть представлена формулой

, время в годах, .

Определить, во сколько раз число научных работников в возрасте ниже среднего превышает число научных работников в возрасте выше среднего.

(Ответ: , то есть научных работников, имеющих возраст меньше среднего (среди научных работников), больше, чем имеющих возраст больше среднего. Средний возраст среди научных работников года)

10.19. Найти для распределения Стьюдента, задаваемого плотностью вероятности

,

начальные моменты при при .

(Ответ: при ,

Указание: При вычислении интегралов вида произвести замену переменных , приводящей к бета-функции, а последнюю выразить через гамма-функцию)

10.20. Случайная величина X подчиняется бета-распределению, т. е. имеет плотность вероятности

Найти начальный момент k-гo порядка.

(Ответ: )

10.21. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей в интервале плотность вероятности .

(Ответ: )

10.22. Выразить центральный момент через начальные моменты.

(Ответ: , где )

10.23. Выразить начальный момент через центральные моменты и математическое ожидание .

(Ответ: , где )

<< | >>
Источник: Теория вероятностей. (Учебное пособие). 2004

Еще по теме 10.4. Задачи для самостоятельной работы:

  1. Задания для самостоятельной работы
  2. ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
  3. Литература для самостоятельной работы
  4. 1.Упражнения для самостоятельной работы
  5. Задачи для самостоятельной работы
  6. Задачи для самостоятельной работы
  7. Задачи для самостоятельной работы
  8. 1.4. Задачи для самостоятельной работы.
  9. 2.4. Задачи для самостоятельной работы
  10. 3.4. Задачи для самостоятельной работы
  11. 4.4. Задачи для самостоятельной работы
  12. 5.4. Задачи для самостоятельной работы
  13. 6.4. Задачи для самостоятельной работы
  14. 7.4. Задачи для самостоятельной работы
  15. 8.4. Задачи для самостоятельной работы
  16. 9.4. Задачи для самостоятельной работы
  17. 10.4. Задачи для самостоятельной работы
  18. 11.4. Задачи для самостоятельной работы