11.4. Задачи для самостоятельной работы
11.1. Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 10000 часов работы равно 10. Определить вероятность отказа радиоаппаратуры за 100 часов работы.
(Ответ: 
)
11.2.
Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 4 абонента?(Ответ: 
)
11.3. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна р = 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?
(Ответ: 
)
11.4. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 сек, в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова?
(Ответ: 
)
11.5. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытания. Сравнить результаты расчетов, полученных с использованием распределения Пуассона и с использованием биномиального распределения. В последнем случае расчет производить с помощью семизначных таблиц логарифмов.
(Ответ: 1) 0,95958; 2) 0,95963)
11.6. За рассматриваемый период времени среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента, равно 8. Какова вероятность, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?
(Ответ: 0,9)
11.7. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.
(Ответ: 0,143)
11.8. Корректура в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероятность того, что на странице не меньше трех опечаток.
(Ответ: 
)
11.9. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 сек, испускало в среднем 3,87 
-частицы. Найти вероятность того, что за 1 сек это вещество испустит хотя бы одну -частицу.
(Ответ: 0,4)
11.10. Определить асимметрию случайной величины, распределенной по закону Пуассона. (Асимметрией называется отношение 
).
(Ответ: 
)
11.11. В аппаратурный отсек космической ракеты за время ее полета попадает 
элементарных частиц с вероятностью
.
Условная вероятность для каждой из них попасть при этом в уязвимый блок равна р. Найти вероятность попадания в блок:
а) ровно k частиц;
б) хотя бы одной частицы.
(Ответ: а) 
; б) 
)
11.12. Определить дисперсию числа атомов радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени, если даны масса вещества М, период полураспада 
, атомный вес вещества А, число атомов в грамм-атоме 
.
Рассеиванием и поглощением частиц пренебречь.
Число Авогадро N0 =
— число атомов в грамм-атоме, т.
Периодом полураспада вещества называется время, в течение которого масса радиоактивного вещества уменьшается в среднем вдвое.
(Ответ: 
. Составить дифференциальное уравнение для среднего числа частиц в момент времени 
. Приравнять среднее число частиц половине первоначального. Полученное в результате этого уравнение дает возможность найти вероятность распада данной частицы; умножая ее на число частиц, получим 
)
11.13. Определить вероятность того, что в экран площадью 
см2, поставленный на расстоянии r=5 см перпендикулярно потоку от -радиоактивного вещества, попадает в течение секунды:
а) ровно десять -частиц;
б) не менее двух -частиц,
если период полураспада вещества 
лет, масса вещества М — 0,1 г, атомный вес вещества А = 238.
Рассеиванием и поглощением частиц пренебречь.
Число Авогадро N0 = — число атомов в грамм-атоме, т. е. в количестве вещества, вес которого в граммах равен атомному весу.
Периодом полураспада вещества называется время, в течение которого масса радиоактивного вещества уменьшается в среднем вдвое.
(Ответ: а) 
; б) 
, где 
)
11.14. Доказать, что полиномиальное распределение
,
где
,
а
,
можно аппроксимировать функцией
,
где 
, если все вероятности 
, за исключением 
,малы, а 
велико.
(Указание: Представить 
в виде:
, где 
. Так как 
и 
конечны, то 
)