4.1. Биномиальное распределение.
Рассмотрим дискретную случайную величину Х , которая принимает значения 0,1,2,…n с вероятностями
 | (4.1.1) |
В схеме Бернулли: Х – число наступлений m раз события А в серии из n – независимых испытаний.
Введем в рассмотрение производящую функцию, которая в данном случае имеет вид | (4.1.2) |
Нетрудно заметить, что 
.
Придавая значение Z=1, получим
 | (4.1.3) |
Подсчитаем числовые характеристики биномиального распределения:
1) математическое ожидание в соответствии с определением выражается формулой:
 | (4.1.4) |
Найдем производную производящей функции:
 | (4.1.5) |
Придавая значение Z=1, получим
 | (4.1.6) |
Из соотношения (4.1.6) следует
 | (4.1.7) |
Далее подсчитаем дисперсию 
по формуле 
. Второй начальный момент определяется формулой
 | (4.1.5) |
Умножим производную производящей функции на z:
 |
Дифференцируя полученное выражение, получим
 |
и вычисляя при Z=1, получим
 | (4.1.6) |
Из (4.1.6) нетрудно заметить, что 
, тогда:
 | (4.1.7) |
 | (4.1.8) |
Если р–мало, а п–достаточно большое число, то формулой биномиального распределения пользоваться не удобно.