5.1.3 Визначення координат точок зворотною засічкою

Зворотною (оберненою) засічкою називається спосіб визначення координат точки вимірюванням кутів між напрямками на чотири вихідні точки, рис.5.13. Основною перевагою зворотної засічки є те, що у цьому способі польова робота зводиться до вимірювання кутів α, β і γ на точці, що визначається, що можна зробити досить швидко.

Рисунок 5.13 – Обернена засічка

Нехай надані вихідні пункти А, В, і С, рис.5.14. Проведемо через ці пункти коло, з’єднаємо їх попарно прямими лініями, які подовжимо далі.

Точка, що визначається, може зайняти одне з таких положень:

- всередині трикутника АВС (точка 1);

- поза трикутником, проти однієї з його вершин (точка 2);

- проти однієї із сторін трикутника (точка 3).

Під час вибору вихідних пунктів А, В, і С необхідно враховувати, що обернена засічка найбільш надійно вирішується у першому і другому випадках. Якщо ж точка, що визначається, випадково опиниться на колі (точка 4), то задача із визначення координат не вирішується. У тому випадку, якщо точка опиниться проти однієї із сторін трикутника, задача вирішується надійно, але коли точка, що визначається, знаходиться поблизу кола, точність зворотної засічки різко знижується.

Рисунок 5.14 – Схема різних випадків розташування точки,

що визначається стосовно вихідних пунктів

Для обчислення зворотної засічки досить знати координати трьох вихідних пунктів і виміряти кути α і β, рис.5.13, але таке рішення було б безконтрольним. Додаткове вимірювання кута γ дозволяє перевірити правильність визначення координат точки Р.

Обчислення зворотної засічки за таблицями логарифмів найчастіше проводиться за формулами з допоміжними кутами φ і ψ.

Обчислення зворотної засічки за таблицями логарифмів проводять у такій послідовності, схема 5.7:

1 Позначають вихідні точки буквами А, В, С, а контрольну точку – буквою Д. Точки А, В і С повинні розташовуватися за ходом годинникової стрілки. Точка Д може займати будь-яке положення по відношенню до точок А, В і С. Кути позначають: α – між напрямками на точки А і В, β – між напрямками на точки В і С, γ – між напрямками на точки А і Д.

2 Розв’язанням зворотних геодезичних задач знаходять дирекційні кути і логарифми вихідних сторін: (АВ), (ВС), lg, lg. Отримані дані записують у бланк рішення засічки (рядки 40, 54, 4 і 5).

3 Виписують у бланк виміряні кути α, β і γ (рядки 1,2 і 3). У нашому прикладі α = 109⁰54’,0; β = 112⁰39’,4; γ = 49⁰11’,7.

4 Знаходять логарифми синусів кутів α і β і обчислюють різниці логарифмів вихідних сторін і синусів кутів їм протилежних для обох трикутників:

lg- lg sin α = 3,75200 – 9,97326 = 3,77874 (рядок 8);

lg- lg sin β = 3,68861 – 9,96512 = 3,72349 (рядок 9).

5 Обчислюють кути φ і ψ біля точок А і С. Порядок дій показаний на схемі.

У нашому прикладі φ = 21⁰56’,4; ψ = 25⁰06’,4.

6 Обчислюють кути, яких не вистачає, у трикутниках АВР і ВСР (біля точки В), як доповнення до 180⁰, знаходять логарифми синусів цих кутів і кутів φ і ψ, а потім обчислюють логарифми сторін:

lg = 3,77874 + 9,57245 = 3,35119,

lg = 3,77874 + 9,87216 = 3,65090 і т.д.

7 Обчислюють дирекційні кути (АР) і (СР) або (ВР):

(АР) = 51⁰05’,6 + 21⁰56’,4 = 73⁰02’,0 (рядок 42);

(СР) = 320⁰41’,8 – 25006’,4 = 295⁰35’,4 (рядок 56).

8 Розв’язанням прямих геодезичних задач знаходять координати точки Р з точок А і С або А і В.

Порядок показано на схемі. У нашому прикладі Х_сер = 74621; Y_сер = 19290,2.

Схема 5.7 – Обчислення зворотної засічки за таблицями логарифмів

9 Проводять контроль засічки, для цього двічі обчислюють дирекційний кут (РД) і знаходять різницю:

∆(РД) = 302⁰12’,7 – 302⁰13,7 = 1’,0.

Допустима величина ∆(РД) = 24’/ 3,1 = 7’,7.

Якщо на точці, що визначається, відомий дирекційний кут орієнтирного напрямку або на точці попередньо визначено вихідний напрямок за допомогою гірокомпаса або із астрономічних спостережень, і з неї є видимість ще на три пункти геодезичної мережі, то засічку можна виконати орієнтованим приладом, рис.5.15.

Рисунок 5.15 – Засічка орієнтованим приладом

У цьому випадку на точці, що визначається, вимірюють дирекційні кути на три вихідних пункти і, змінивши їх на 180⁰, отримують дирекційні кути (АР), (ВР) і (СР). Координати точки, що визначається, знаходять за формулами (5.9) і (5.10), використавши координати вихідних пунктів і отримані дирекційні кути напрямків з них на точку, що визначається, або переходять до рішення прямої засічки за формулами (5.7) з використанням таблиць логарифмів.

На визначення координат однієї точки способом зворотної засічки по чотирьох пунктах потрібно у середньому 50 хвилин.