<<
>>

6.1. Формулы прямоугольников.

Площадь i-той элементарной трапеции можно оценить (приближенно вычислить) как площадь прямоугольника со сторонами и fi.

Тогда и значение интеграла:

(6.4)

Рис. 6.2. Оценка элементарной площади Si левым прямоугольником.

Полученная формула называется формулой левых прямоугольников, т.к. для оценки площади использовалось левое основание элементарной криволинейной трапеции.

Аналогично можно получить формулу правых прямоугольников:

Рис. 6.3. Оценка элементарной площади Si правым прямоугольником.

Для данного случая и тогда значение интеграла:

(6-5)

Эти формулы не находят широкого применения, т.к. имеют большую погрешность, пропорциональную величине шага

Как появляется эта погрешность, видно на рисунках.

Для повышения точности площадь Si можно оценить, используя прямоугольник со стороной, равной значению подынтегральной функции в середине элементарного отрезка

Рис.

6.4. Оценка элементарной площади Si центральным прямоугольником.

Для данного случая и формула центральных прямоугольников имеет вид:

(6.6)

Как видно из рис. 6.4, погрешность в оценке площади Si в данном случае существенно меньше, чем в двух предыдущих (погрешность оценивается разницей площадей δ1 и δ2).

Погрешность метода пропорциональная квадрату величины шага

Схема алгоритма вычисления значения определённого интеграла по приведённым квадратурным формулам представлена на рис. 6.6.

Пример 6.1. Вычисление значения определённого интеграла по формулам прямоугольников. Для упрощения ручных расчетов рассмотрим достаточно простую задачу.

Требуется вычислить:

Точное значение легко вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

=

=

Для вычисления интеграла по квадратурной формуле необходимо выбрать число узлов n.

Пусть n=5, тогда

Расчет по формуле левых прямоугольников:

Погрешность расчета .

Суммарная площадь прямоугольников заметно меньше площади криволинейной трапеции.
Знак и значение погрешности можно легко оценить по геометрической иллюстрации вычисления интеграла по квадратурной формуле.

0,5
0,4
0,8
1,2
1,6

Рис.

6.5. Геометрическая иллюстрация вычисления значения определённого интеграла по формуле левых прямоугольников.

Расчет по формуле правых прямоугольников:

Погрешность расчета d » 4,125 - 4,71 = - 0,585.

Для повышения точности необходимо увеличить n или использовать более точные квадратурные формулы.

Расчет по формуле центральных прямоугольников:

Погрешность расчета d » 4,125 - 4,114= 0,011.

Формула центральных прямоугольников на порядок точнее предыдущих формул.

Рис. 6.6. Схема алгоритма метода прямоугольников.

<< | >>
Источник: Мухамадеев И.Г.. АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. КУРС ЛЕКЦИЙ. 2007

Еще по теме 6.1. Формулы прямоугольников.:

  1. При несоответствии изобретения с формулой заявителя условиям патентоспособности принимается
  2. Наличие общих языковых конструкций, формул и средств в эпических и правовых текстах свидетельствует, указывают
  3. Формула неосторожности
  4. 98. Постановка формулы вменяемости в науке и законодательствах
  5. Ввод формул
  6. § 2. ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ТЕОРИИ РЕГУЛИРОВАНИЯ
  7. Содержание дисциплины
  8. Интегрирование по частям.
  9. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  10. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  11. 1.3.1. Приближенное вычисление определенного интеграла
  12. 4.2. Методические указания к выполнению лабораторных работ
  13. 4.3. Блок текущего контроля
  14. Решение задач
  15. Решение задач
  16. Контрольные вопросы